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1、1982年全国高中数学联赛1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛1.选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分):⑴如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么A.F∈{四边形}B.F∈{五边形}C.F∈{四边形}∪{五边形}D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}⑵极坐标方程ρ=所确定的曲线是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线⑶如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5x)]=0,那么A.z2、x-13、+4、5、y-16、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A.1B.2C.πD.4⑸对任何φ∈(0,)都有A.sinsinφcosφ>coscosφC.sincosφ>cosφ>cossinφD.sincosφ7、8、xy9、=1,x>0},N={(x,y)10、arctanx+arccoty=π},那么A.M∪N={(x,y)11、12、xy13、=1}B.M∪14、N=MC.M∪N=ND.M∪N={(x,y)15、16、xy17、=1,且x,y不同时为负数}⑻当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+)(b+),乙:(+)2,丙:(+)2中间,值最大的一个是A.必定是甲B.必定是乙C.必定是丙D.一般并不确定,而与a、b的取值有关2.(本题16分)已知四面体SABC中,∠ASB=,∠ASC=α(0<α<),∠BSC=β(0<β<).以SC为棱的二面角的平面角为θ.求证:θ=-arccos(cotα∙cotβ).-7-1982年全国高中数学联赛3.(本题16分)已知:⑴半圆的直径AB长为2r;⑵半圆外的直线l与BA的延长线18、垂直,垂足为T,19、AT20、=2a(2a<);⑶半圆上有相异两点M、N,它们与直线l的距离21、MP22、、23、NQ24、满足条件==1.求证:25、AM26、+27、AN28、=29、AB30、.-7-1982年全国高中数学联赛4.(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC.D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且31、AE32、=33、BF34、=35、CD36、=1,连结AD、BE、CF,交成△RQS.点P在△RQS内及边上移动,点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z.⑴求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值;⑵求上述乘积xyz的极小值.-7-1982年全国高中数学联赛5.(本题20分)已知圆x2+y237、=r2(r为奇数),交x轴于点A(r,0)、B(-r,0),交y轴于C(0,-r)、D(0,r).P(u,v)是圆周上的点,u=pm,v=qn(p、q都是质数,m、n都是正整数),且u>v.点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N.求证:38、AM39、、40、BM41、、42、CN43、、44、DN45、分别为1、9、8、2.-7-1982年全国高中数学联赛1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答1.选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分):⑴如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么A.F∈{四边形}B.F∈{五边形}C.F∈{四边形}∪{五边形46、}D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}解:由正方形及正五边形知A、B均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知D错,选C.⑵极坐标方程ρ=所确定的曲线是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解:ρ=,知e=,选C.⑶如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5x)]=0,那么A.z47、x-148、+49、y-150、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A.1B.251、C.πD.4解:此曲线的图形是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为2.选B.⑸对任何φ∈(0,)都有A.sinsinφcosφ>coscosφC.sincosφ>cosφ>cossinφD.sincosφsinφ.由052、在解:△=(k-2)2-
2、x-1
3、+
4、
5、y-1
6、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A.1B.2C.πD.4⑸对任何φ∈(0,)都有A.sinsinφcosφ>coscosφC.sincosφ>cosφ>cossinφD.sincosφ7、8、xy9、=1,x>0},N={(x,y)10、arctanx+arccoty=π},那么A.M∪N={(x,y)11、12、xy13、=1}B.M∪14、N=MC.M∪N=ND.M∪N={(x,y)15、16、xy17、=1,且x,y不同时为负数}⑻当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+)(b+),乙:(+)2,丙:(+)2中间,值最大的一个是A.必定是甲B.必定是乙C.必定是丙D.一般并不确定,而与a、b的取值有关2.(本题16分)已知四面体SABC中,∠ASB=,∠ASC=α(0<α<),∠BSC=β(0<β<).以SC为棱的二面角的平面角为θ.求证:θ=-arccos(cotα∙cotβ).-7-1982年全国高中数学联赛3.(本题16分)已知:⑴半圆的直径AB长为2r;⑵半圆外的直线l与BA的延长线18、垂直,垂足为T,19、AT20、=2a(2a<);⑶半圆上有相异两点M、N,它们与直线l的距离21、MP22、、23、NQ24、满足条件==1.求证:25、AM26、+27、AN28、=29、AB30、.-7-1982年全国高中数学联赛4.(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC.D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且31、AE32、=33、BF34、=35、CD36、=1,连结AD、BE、CF,交成△RQS.点P在△RQS内及边上移动,点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z.⑴求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值;⑵求上述乘积xyz的极小值.-7-1982年全国高中数学联赛5.(本题20分)已知圆x2+y237、=r2(r为奇数),交x轴于点A(r,0)、B(-r,0),交y轴于C(0,-r)、D(0,r).P(u,v)是圆周上的点,u=pm,v=qn(p、q都是质数,m、n都是正整数),且u>v.点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N.求证:38、AM39、、40、BM41、、42、CN43、、44、DN45、分别为1、9、8、2.-7-1982年全国高中数学联赛1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答1.选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分):⑴如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么A.F∈{四边形}B.F∈{五边形}C.F∈{四边形}∪{五边形46、}D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}解:由正方形及正五边形知A、B均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知D错,选C.⑵极坐标方程ρ=所确定的曲线是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解:ρ=,知e=,选C.⑶如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5x)]=0,那么A.z47、x-148、+49、y-150、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A.1B.251、C.πD.4解:此曲线的图形是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为2.选B.⑸对任何φ∈(0,)都有A.sinsinφcosφ>coscosφC.sincosφ>cosφ>cossinφD.sincosφsinφ.由052、在解:△=(k-2)2-
7、
8、xy
9、=1,x>0},N={(x,y)
10、arctanx+arccoty=π},那么A.M∪N={(x,y)
11、
12、xy
13、=1}B.M∪
14、N=MC.M∪N=ND.M∪N={(x,y)
15、
16、xy
17、=1,且x,y不同时为负数}⑻当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+)(b+),乙:(+)2,丙:(+)2中间,值最大的一个是A.必定是甲B.必定是乙C.必定是丙D.一般并不确定,而与a、b的取值有关2.(本题16分)已知四面体SABC中,∠ASB=,∠ASC=α(0<α<),∠BSC=β(0<β<).以SC为棱的二面角的平面角为θ.求证:θ=-arccos(cotα∙cotβ).-7-1982年全国高中数学联赛3.(本题16分)已知:⑴半圆的直径AB长为2r;⑵半圆外的直线l与BA的延长线
18、垂直,垂足为T,
19、AT
20、=2a(2a<);⑶半圆上有相异两点M、N,它们与直线l的距离
21、MP
22、、
23、NQ
24、满足条件==1.求证:
25、AM
26、+
27、AN
28、=
29、AB
30、.-7-1982年全国高中数学联赛4.(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC.D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且
31、AE
32、=
33、BF
34、=
35、CD
36、=1,连结AD、BE、CF,交成△RQS.点P在△RQS内及边上移动,点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z.⑴求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值;⑵求上述乘积xyz的极小值.-7-1982年全国高中数学联赛5.(本题20分)已知圆x2+y2
37、=r2(r为奇数),交x轴于点A(r,0)、B(-r,0),交y轴于C(0,-r)、D(0,r).P(u,v)是圆周上的点,u=pm,v=qn(p、q都是质数,m、n都是正整数),且u>v.点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N.求证:
38、AM
39、、
40、BM
41、、
42、CN
43、、
44、DN
45、分别为1、9、8、2.-7-1982年全国高中数学联赛1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答1.选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分):⑴如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么A.F∈{四边形}B.F∈{五边形}C.F∈{四边形}∪{五边形
46、}D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}解:由正方形及正五边形知A、B均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知D错,选C.⑵极坐标方程ρ=所确定的曲线是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解:ρ=,知e=,选C.⑶如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5x)]=0,那么A.z47、x-148、+49、y-150、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A.1B.251、C.πD.4解:此曲线的图形是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为2.选B.⑸对任何φ∈(0,)都有A.sinsinφcosφ>coscosφC.sincosφ>cosφ>cossinφD.sincosφsinφ.由052、在解:△=(k-2)2-
47、x-1
48、+
49、y-1
50、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A.1B.2
51、C.πD.4解:此曲线的图形是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为2.选B.⑸对任何φ∈(0,)都有A.sinsinφcosφ>coscosφC.sincosφ>cosφ>cossinφD.sincosφsinφ.由052、在解:△=(k-2)2-
52、在解:△=(k-2)2-
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