年全国高中数学联赛试题及解答

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1、1982年全国高中数学联赛1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛1．选择题(本题48分，每一小题答对者得6分，答错者得0分，不答者得1分)：⑴如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等，那么A．F∈{四边形}B．F∈{五边形}C．F∈{四边形}∪{五边形}D．F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}⑵极坐标方程ρ=所确定的曲线是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线⑶如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5x)]=0，那么A．z

2、x－1

3、+

4、

5、y－1

6、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A．1B．2C．πD．4⑸对任何φ∈(0，)都有A．sinsinφcosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφ

7、

8、xy

9、=1，x>0}，N={(x，y)

10、arctanx+arccoty=π}，那么A．M∪N={(x，y)

11、

12、xy

13、=1}B．M∪

14、N=MC．M∪N=ND．M∪N={(x，y)

15、

16、xy

17、=1，且x，y不同时为负数}⑻当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：(a+)(b+)，乙：(+)2，丙：(+)2中间，值最大的一个是A．必定是甲B．必定是乙C．必定是丙D．一般并不确定，而与a、b的取值有关2．(本题16分)已知四面体SABC中，∠ASB=，∠ASC=α(0<α<)，∠BSC=β(0<β<)．以SC为棱的二面角的平面角为θ．求证：θ=－arccos(cotα∙cotβ)．-7-1982年全国高中数学联赛3．(本题16分)已知：⑴半圆的直径AB长为2r；⑵半圆外的直线l与BA的延长线

18、垂直，垂足为T，

19、AT

20、=2a(2a<)；⑶半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离

21、MP

22、、

23、NQ

24、满足条件==1．求证：

25、AM

26、+

27、AN

28、=

29、AB

30、．-7-1982年全国高中数学联赛4．(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且

31、AE

32、=

33、BF

34、=

35、CD

36、=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．⑴求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；⑵求上述乘积xyz的极小值．-7-1982年全国高中数学联赛5．(本题20分)已知圆x2+y2

37、=r2(r为奇数)，交x轴于点A(r，0)、B(－r，0)，交y轴于C(0，－r)、D(0，r)．P(u，v)是圆周上的点，u=pm，v=qn(p、q都是质数，m、n都是正整数)，且u>v．点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N．求证：

38、AM

39、、

40、BM

41、、

42、CN

43、、

44、DN

45、分别为1、9、8、2．-7-1982年全国高中数学联赛1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答1．选择题(本题48分，每一小题答对者得6分，答错者得0分，不答者得1分)：⑴如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等，那么A．F∈{四边形}B．F∈{五边形}C．F∈{四边形}∪{五边形

46、}D．F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}解：由正方形及正五边形知A、B均错，由对角线相等的四边形形状不确定，知D错，选C．⑵极坐标方程ρ=所确定的曲线是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：ρ=，知e=，选C．⑶如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5x)]=0，那么A．z

47、x－1

48、+

49、y－1

50、=1确定的曲线所围成的图形的面积是A．1B．2

51、C．πD．4解：此曲线的图形是一个正方形，顶点为(0，1)，(1，0)，(2，1)，(1，2)；其面积为2．选B．⑸对任何φ∈(0，)都有A．sinsinφcosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφsinφ．由0

52、在解：△=(k－2)2－