1994年全国高中数学联赛试题及解答

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1、1994年全国高中数学联赛冯惠愚1994年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c>0(B)=c(C)c2、给出下列两个命题：⑴设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2－c2>0；⑵设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，则a2+b2>c2．那么下述说法正确的是(A)命题⑴正确，命题⑵也正确(B)命题⑴正确，命题⑵错误(C)命题

2、⑴错误，命题⑵也错误(D)命题⑴错误，命题⑵正确3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式

3、Sn－n－6

4、<的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)84、已知0

5、方程+=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ10-10-1994年全国高中数学联赛冯惠愚的延长线相交，则m的取值范围是．2．已知x，y∈[－，]，a∈R且则cos(x+2y)=．3．已知点集A={(x，y)

6、(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)

7、(x－4)2+(y－5)2>

8、()2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为．4．设0<θ<π，，则sin(1+cosθ)的最大值是．5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=．6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是．10-10-1994年全国高中数学联赛冯惠愚第二试一、(本题满分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设

9、这个方程的两个根α、β，满足

10、α－β

11、=2,求

12、m

13、的最大值和最小值.二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。三、(本题满分35分)如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)IO=AE；(2)2R

14、任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)．(1)求m(G)的最小值m0．(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．10-10-1994年全国高中数学联赛冯惠愚19

15、94年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c>0(B)=c(C)c解：asinx+bcosx+c=sin(x+φ)+c∈[－+c，+c]．故选C．2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2－c2>0．(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，则a2+b2>c2．那么下述说法正确的是(A)命题(1)

16、正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误(D)命题(1)错误，命题(2)正确解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a2+b2>c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2－c2>0成立；⑵当a2+b2－c2>0成立时a2+b2－c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2>c2不一定成立．故选B．3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前