分布列、期望、方差

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1、§10.9离散型随机变量的期望与方差(时间：50分钟　满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p，令随机变量X＝，则X的方差D(X)等于()A．pB．2p(1－p)C．－p(1－p)D．p(1－p)解析：X服从两点分布，故D(X)＝p(1－p)．答案：D2．(2011·池州联考)若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为(　　)A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8解析：EX＝np＝6，DX＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)

2、＝C··11＝3·2－10.答案：C3．(2011·衢州模拟)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则Eη，Dη分别是(　　)A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析：若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知EX、DX时，则有Eη＝aEX＋b，Dη＝a2DX.由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得Eη＝8－EX＝8－10×0.6＝2，Dη＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.答案：B4．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均

3、值为(　　)A．20B．10C．5D．15解析：抽一件产品为废品的概率为＝，抽取150件，即进行150次试验，因为产品数目较大，故可看成是独立重复试验，故查得废品数X～B，所以EX＝150×＝10.答案：B5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为(　　)A.B.C.D.解析：由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0

4、二、填空题(每小题4分，共16分)6．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此EX＝.答案：7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先X∈{0,1,2}．∵P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)

5、＝＝.∴EX＝0·＋1·＋2·＝＝.答案：8．(2009·广东理，12)已知离散型随机变量X的分布列如右表，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.解析：由题意知解得答案：　9．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.解析：由已知，X的取值为7,8,9,10，∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，∴X的概率分布列为X78910P∴P(X≥8

6、)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝.答案：三、解答题(共3小题，共34分)10．(本小题满分10分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：(1)随机变量X的分布列；(2)随机变量X的期望．解：解法一：(1)X的所有可能值为0,1,2,3,4,5.由等可能性事件的概率公式得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.从而，X的分布

7、列为：X012345P(2)由(1)得X的期望为：EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝.解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B(5，)，即有P(X＝k)＝C()k()5－k，k＝0,1,2,3,4,5.由此计算X的分布列如解法一．(2)EX＝5×＝.解法三：(1)同解法一或解法二．(2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等．即3EX＝5，从而EX＝.11．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可

8、能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种