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1、1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量,记作Du,即Du=u2-u1.设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的.当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Dx时,函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx),因此函数y的对应增量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0).函数连续的定义设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果当自变量的增量Dx=x-x0趋于零时,对应的函数的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)也趋于零,即,或,那么
2、就称函数y=f(x)在点x0处连续.注:①②设x=x0+Dx,则当Dx®0时,x®x0,因此ÛÛ.函数连续的等价定义2:设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果对于任意给定义5的正数e,总存在着正数d,使得对于适合不等式
3、x-x0
4、5、f(x)-f(x0)
6、7、在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1.如果f(x)是多项式函数,则函数f(x)在区间(-¥,+¥)内是连续的.这是因为,f(x)在(-¥,+¥)内任意一点x0处有定义,且.2.函数在区间[0,+¥)内是连续的.3.函数y=sinx在区间(-¥,+¥)内是连续的.证明:设x为区间(-¥,+¥)内任意一点.则有Dy=sin(x+Dx)-sinx,因为当Dx®0时,Dy是无穷小与有界函数的乘积,
8、所以.这就证明了函数y=sinx在区间(-¥,+¥)内任意一点x都是连续的．54.函数y=cosx在区间(-¥,+¥)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义;(2)虽然在x0有定义,但f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且f(x)存在,但f(x)¹f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1.正切函数y=tanx在处没有定义,所以点是函数tanx的间断点.因为,故称为函数tanx
9、的无穷间断点.例2.函数在点x=0没有定义,所以点x=0是函数的间断点.5当x®0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0称为函数的振荡间断点.例3.函数在x=1没有定义,所以点x=1是函数的间断点.因为,如果补充定义:令x=1时y=2,则所给函数在x=1成为连续.所以x=1称为该函数的可去间断点.例4.设函数.因为,,,所以x=1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x=1处的定义:令f(1)=1,则函数f(x)在x=1成为连续,所以x=1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数.因为,,,所以极限不存在,x=0是函数
10、f(x)的间断点.因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限f(x0-0)5及右极限f(x0+0)都存在,那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.5
