函数概念学习的形成性评价

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1、函数概念学习的形成性评价蒋婵1李泽衣2(1广西师范大学数学与计算机科学学院，广西桂林541004)(2广西梧州师范高等专科学校数学系，广西贺州542800)[摘要]以学生获得数学概念的认知发展理论为依据，设计函数概念学习的形成性评价，为数学学习评价提供一种基于APOS理论的评价模式。[关键词]APOS理论；函数概念学习；形成性评价[中图分类号]G42[文献标识码]A新一轮课程改革，强调“反璞归真”，对于概念的教学“应通过揭示数学知识发生、发展的过程，尽量帮助学生理解所学知识的数学本质”，让学生主动建构知识从而获得概念。在很多研究中都将数学概念的获得分为概念形成和概念同化

2、两种不同形式。然而，这两种形式更多的是从教学的角度描述概念教学的形式。其实，数学概念的获得还可以从学生数学概念的心理建构这一重要角度去阐述概念形成的认知过程，并由此以函数概念学习为例设计形成性评价模式。1中学生函数概念认知发展研究中学数学教材分两个循环引入函数概念，函数概念的教学主要采用概念形成的组织方式，从实例中抽象出概念。其“概念结构”包括以蕴涵式表述的定义、定义域、值域、对应法则、抽象符号f(x)、表示形式、性质、以及和集合等概念之间的关系等等。11首先对学生函数概念认知发展的一些特点和函数概念在中学学习中的特殊性进行分析，从中确定反映学生函数概念形成的若干指标，

3、再通过数学学习评价的方法对其进行诊断评价。总的来说，函数概念的认知发展具有其特殊性，不仅和函数概念本身的特殊性和函数思想在整个中学数学学习以至以后的数学学习中的特殊作用有关，还与学生的认知特点和思维跨越发展的特殊时期相联系，使得评价的维度更广、内容更丰富。对学生而言，函数概念从描述数量依赖关系的一种方法，逐步演化为一般化的抽象数学结构，而且有很多复杂的层次和许多相关的下层概念，特别是到了高中阶段的学习，更需要高度抽象概括思维能力，必须对函数概念的本质属性有较强的逻辑判断、对函数的抽象符号表示有独立的认识和变化的观念、对各种非本质属性：如集合、定义域、值域等有整体把握的意

4、识等，使得函数概念的形成障碍重重，学生在认识和理解上感觉困难，因此被视为中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数概念难形成的另一个原因是学生的认知准备不足。在学习函数概念之前，学生接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识，而函数研究的是变量，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念的相互联系之中的，学生的思维要经历一个飞跃过程到辨证思维形态，而此时学生的辨证思维发展还处于很不成熟的时期，“这个矛盾正是概念学习中一切认知障碍的根源”。因此，评价学生从常量到变量的学习迁移是顺利教学的关键起步。同时还指出，函数概念学习前，学生对“数”与“形”的学习基本上是分代数和几何进行

5、的，函数要求“数形结合”11的思维运算，要求在符号语言与图形语言间进行灵活的转换，不断协调不同表示间的关系。对此，数学气质类型为几何型和分析型的学生的差异在此表现得尤为显著。这也是考察函数概念形成水平的重要指标。函数概念学习的难点主要是函数概念的数学定义即学生所了解的定义与学生解决问题时实际所使用的概念意象之间的差异，、用图像形象地表示函数和对图像表示的函数做出解释两方面所存在的难点，甚至定义域、值域以及对函数实行运算（特别是对函数的复合运算）等。基于以上特征，学生获得函数概念的过程就是一个迁移、变化、运动、综合、发展的过程，充分体现了学生在概念学习过程中认知发展的特点

6、，因此对函数概念学习的形成性评价无疑可为概念教学提供可据的研究素材，由此为我们进行其它概念形成的学习评价提供范例，其意义重大。2概念学习的本质从建构主义理论，数学概念是通过学生的主动心理建构而形成的。实践表明，学生数学概念的认知过程由浅入深具有不同的层次，概念学习从一个阶段向另一个阶段过渡，学生的认知层次也从一个层次向另一个层次转化，两者并不一定是同步发展的，会出现认知滞后或超前现象，这样就形成了数学概念认知发展的不平衡。近年来，一些新的研究更多地尝试从认知发展的角度揭示概念学习的本质。11心理学的现代研究已经表明，数学概念的心理对应物在大多数情况下并非相应的形式定义，

7、学生在记忆、表征、运用数学概念时，多是与概念意向相联系，在判定给定的对象是否为这个概念的例子时，也并不一定会用到给定义，在大多数情况下学生依赖于概念意向，“也就是在学生头脑中和概念名称相联系的思维图像以及描述它们特征的所有性质，是有关概念的例子和反例在头脑中作用的结果”[1]。除了原始概念之外，所有数学概念都有形式的定义，但学生通过概念的例子来认识的数学对象和定义表示的数学对象不一定一致。在相当多情况下学生在利用他们现有的概念意向时还是成功的，比如用一次函数、二次函数的特例来识记函数的概念等。但由于概念意向的包含较多的无关特征，具有直观性