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1、1.向量在代数中的应用1.1.用向量法证明代数不等式利用向量数量积公式：（为向量，的夹角），显然，，等号在，共线且同向时成立,注意观察所给不等式的结构,设法构造出合理的向量,利用数量积可以巧妙给出证明。例1.1设，求证：证明：（方法一）两边同时加上，有有即（方法二）利用向量证明设的夹角为利用有注:方法一采取常规做法,运算复杂,特别是配凑上不易掌握,而方法二中,只要合理地构造出，利用数量积,不等式便可水到渠成,巧妙证明。类似的,通过向量可证明。1.2.用向量法求有关三角问题例1.2求函数的最值。解：原式可根据二倍角公
2、式化为假设构造向量例1.3已知，且，求的值。解：原等式可化为，构造向量整理得,所以可得，.1.3.用向量法求解无理函数的最值求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识求解将会使求解变得容易。例1.4求函数的最大值.解：构造向量,当且仅当，即时，.例1.5求函数的最小值。解：构造向量应用向量不等式的性质当且仅当和同向平行时，等号成立所以（此时）.注：此题要将向量积与向量的基本不等式结合起来使用。用向量解代数问题时，主要是将数量关系转化为向量关系，利用向量的性质来求解。在这个过程中，关键是由向量的
3、性质设出恰当的向量，从而将题中的代数式转化为向量形式相乘、相加等，然后再结合向量知识来解决。2.平面向量在解析几何中的应用2.1.平面向量在公式方面的应用2.2.1.用向量法求点到直线的距离公式例2.1求点P0到直线的距离。解：设点，是直线上任意两点，则有（1）（2），得由向量数量积的知识可知:即是与垂直的向量当与的夹角为锐角时，（如图2.1）；当与的夹角为钝角时（如图2.2）又因为所以.2.1.2.用向量法求两直线平行、垂直的判定公式例2.2已知两直线不重合，且斜率分别为，求直线与互相垂直、互相平行的判定公式。解
4、：由向量的知识可知：的方向向量为，的方向向量为再由平面向量的有关知识得//.2.2.用向量法求动点轨迹方程2.2.1.用向量法求直线方程例2.3求过点，斜率为的直线方程。解：因为所求直线的一个方向向量，设为直线上任一点，则向量与共线由向量共线的充要条件可得：为点斜式方程。特殊地，当点为点时，可得直线的斜截式方程为：.例2.4求过两定点，的直线方程解：设为所求直线上任一点,则因为向量与共线，用向量共线的充要条件得:为直线的两点式方程特殊地，当两点为和时，可得直线的截距方程：2.2.2.用向量法求圆的方程和圆的切线例2
5、.5已知一个直径的两端点为，，求圆的方程。解:设为圆上异于的两点，由周角定理有：若是与点或点重合的点，则或故都有成立所以即为所求圆的方程，对其进行整理配方，可得圆的标准方程：，其中为圆的圆心坐标，为半径。例2.6已知圆的方程为，求经过圆上一点的切线方程。解：设为切线上异于的任一点，那么，因为，所以整理可得：显然，当与重合时，其坐标也满足此方程故所求切线方程为：.2.3.平面向量在具体解题中的应用例2.7如图2.3所示，求证：的三条中线、、相交于一点.证明：在平面内任取一点设，，又设为上一点，且，则因为是的中点，故，
6、即同理，即故三点重合特别地，当为原点时，由此推出的重心的坐标公式：若三角形的三定点分别为，，，则重心为.可见当运用平面几何知识证明三线或点问题较复杂,叙述也繁时,用向量共线充要条件来解决则显得十分方便、简洁、思路清晰。例2.8如图2.4，已知椭圆:,直线：，是上的一点，射线交椭圆于，又点在上，且满足，当点在上运动时，求的轨迹方程。解：设，那么,（为正实数）则，，即即（1）又因点分别在直线与椭圆上，（2）（3）将(2)(3)带入(1)得：整理可得：（其中不同时为0）。注：利用平面向量的运算解决圆锥曲线相关问题，可使繁
7、琐的运算得以简化。3.向量在空间立体几何中的应用在新研制的高中《数学课程标准》（实验稿）中空间向量是《标准》中选修课程系列2的重要内容之一。从结构上看，它虽然不是必修内容，但是希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的学生，必须选修。实际上，如果按照以往的文理分科，“空间向量”是理工科学生必修的知识，可见它是限制性的选修内容，虽然选学的主动权由学生个人掌握；从内容上看,空间向量是新知识，用它解决立体何问题,有着其自身的特点，“提供了新的视角”。3.1.求空间角引理1：设向量与的夹角为（通常用表示），则有,即.引理2:
8、设，是与轴同方向的向量，在上的射影为，在上的射影为，则叫做向量在轴或上的正射影，简称射影。设向量与的夹角为，则CD=（这是变成有向线段CD，方向与或轴的方向要么相同要么相反）。3.1.1.求两异面直线所成的角向量内积公式可方便用于求两异面直线所成的角。例3.1在平行六面体中，，，，，若P、Q分别是、的中点，求：（1）；（2）对角线与的夹角。分析：此题若通过解
