向量在解析几何中的应用(1)

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1、向量在解析几何中的应用作者：嵩明县第一中学：吴学伟解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。一、向量基础知识（1）、向量的数量积定义：（2）、向量夹角公式：与的夹角为，则（3）、向量共线的充要条件：与非零向量共线存在惟一的，使。（4）、两向量平行的充要条件：向量,平行（5）、两向量垂直的充要条件：向量（6）、向量不等式：，（7）、向量的坐标运算：向量,，则二、向量的应用1、利用向量证明等式材料一：

2、已知、是任意角，求证：。证明：在单位圆上，以轴为始边作角，终边交单位圆于A，以轴为始边作角，终边交单位圆于B，有，所以有：又即点评：对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。2、利用向量证明不等式材料二：是正数。求证：证明：设由数量积的坐标运算可得：又因为，所以成立。点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：，，构造向量解之。3、利用向量求值材料三：已知，求锐角。解析：由条件得设，，则，，，由，得，即，则，即，同理（因为、为锐角）点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构

3、造等量关系求值。变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为、，，。（１）、若，求角的值；（２）、若，求的值。解析：（１），　由得，又，（２）、由得……………………………………（１）又由（１）式两边平方得，4、利用向量求函数值域材料四：若，求的最小值。解析：构造向量，由，得即，当且仅当时，有最小值变式：设是实数，求的最小值。解析：，故可设，，当，即时等号成立。所以当时,取最小值点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。5、利用向量解决析几何问题材料六：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知。（1）、求点

4、P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。解析：（1）、设直线的方程为，代入得，当时，设，，则，设，由，则，解之得再将代入得……………………（1）当时，满足（1）式；当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线；当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。（2），所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。当不存在时，A、B坐标分别为，，不满足上式。又化简得：，此方程无实数解，故不存直线使OAPB为矩形。点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查

5、的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。变式：已知双曲线Ｃ：，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x轴正半轴上，且满足、、成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线，垂足为Ｐ，如图所示。（１）求证：；（２）若与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率的范围。解析：（１）直线的方程为：，由解得、、成等比数列，，故轴，如图所示。从而(2)、由得，即，，即，点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考

6、到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或，要会求出直线的斜率；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于

7、已知是钝角,给出,等于已知是锐角。（8）给出,等于已知是的平分线/（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；