平面几何五大公理

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1、平面几何五大公理所谓公理：1)经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。2)某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是：1、五

2、大公设：公设1　　从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。　　公设2　　把有限的直线不断循直线延长是可能的。　　公设3　　以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。　　公设4　　所有的直角都相等。　　公设5　　如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。2、五大公理公理1　　与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。　　公理2　　等量加等量，总量仍相等。　　公理3　　等量减等量，余量仍相等。　　公理4　　彼此重合的东西彼此是相等的。　　公理5　　整体大于

3、部分。今天我们常说的平面几何五大公理，就是指五大公设。在这五个公设(理)里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西顿在性的声明。事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常罗嗦，没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，

4、但是几经努力而无果，无法从其他公设中推到处第五公设。第五公设称为平行公理，引导出千年来数学上和哲学上最大的难题之一。同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述（故称之为平行公理）也是对三角形内角和的论述（即内角和公理）。后人证明它同下面两条命题等价：1三角形内角和等于两个直角2通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。高斯对这一点是非常明白的，他认为欧几里德几何式物质空间的几何，1799年他说给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公里不能从其他的公设中推导出来，他开始认真从事开发一个新的能够应用

5、的几何。1813年，发展了他几何，最初称为反欧氏几何，后称星空几何，最后称非欧几何。在他的几何中三角形内角可以大于180度。当然得到这样的几何不是高斯一人，历史上有三个人。一个是他的搭档，另一个是高斯的朋友的儿子独立发现的。其中一个有趣的问题是，非欧氏几何中过直线外一点的平行线可以无穷。不久之后，俄国的一位著名数学家也发现了一个新的非欧几何，即罗氏几何。他的三角形内角和是小于180度的。而19世纪初非欧式几何的发现，正是后来爱因斯坦发现广义相对论的基础。。。欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现

6、第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。　　有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。　　因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。　　由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？　　到了十九

7、世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。　　但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：　　第一，第五公设不能被证明。　　第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得

8、到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。　　这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。　　从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。　　几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何