.. 导数与函数的单调性课时

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1、课时2　导数与函数的极值、最值题型一　用导数解决函数极值问题命题点1　根据函数图象判断极值例1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是________．答案　f(－2)、f(2)解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．命题点2　求函数的极值例2已知函数

2、f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值．解　由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.令f′(x)＝0得x＝0或.当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：x(－∞，)(，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗

3、极大值↘∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.命题点3　已知极值求参数例3　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是____________．答案　(1)－7　(2)(2，)解析　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1

4、处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋恒成立，a≤2；当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋恒成立，a≥.因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围是(2，)．思维升华　(1)求函数f(x)极值的

5、步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．　(1)函数y＝2x－的极大值是________．(2)设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为____

6、____．答案　(1)－3　(2)－解析　(1)y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′>0；当x>－1时，y′<0.∴当x＝－1时，y取极大值－3.(2)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝－2ax－1＝，由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，又当a＝－时，f′(x)＝＝，当01时，f′(x)>0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a＝－.题型二　用导数求函数的最值例4　已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1.(

7、1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．解　(1)当a＝1时，f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.又f(2)＝ln2－，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2－)＝(x－2)，即x－4y＋4ln2－4＝0.(2)因为f(x)＝＋lnx－1，所以f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝a.①若

8、a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．②若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递