strongart数学笔记：浅谈不变子空间的存在性问题

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1、浅谈不变子空间的存在性问题最近读了Abramovich与Aliprantis的AnInvitationtoOperatorTheory，对其中的不变子空间问题还是很有感觉的，下面就结合书中的内容给大家简单科普一下。先讲讲为什么要研究不变子空间。一般研究线性算子时。T：X→X的算子总是要比T：X→Y的线性算子更加值得关注，这一点在有限维的情形下就更为明显了，一般矩阵中方阵总是特别被重视，因为我们可以定义其行列式、可逆性等等。线性算子T：X→Y不变子空间V是指满足T（V）≤V的子空间V，这样我们就可以把T限制在V上得到一个V上的类似方阵的线性算子T：V→V，这也就是不变子空间的妙处

2、了。假设T：X→X是Banach空间X上的有界线性算子，那么它天然的就带有两个闭不变子空间：KerT与ImT，而它们还是T的闭超不变子空间。这里子空间V称为T的超不变子空间是指对于任何与T交换的算子S，V都是S的不变子空间。这个结论可以说定义超不变子空间的动机，也是关于超不变子空间存在性的第一个命题，相信很多同学在泛函分析甚至线性代数中都证明过类似命题，只是那时还没有给出超不变子空间这个名称而已。有了这个基本结论，就可以看一下非平凡闭不变子空间的存在性问题，这里的非平凡是指子空间不能为{0}或X。假若算子T与一个非一一或值域非稠的算子S：X→X交换，那么T就一定存在非平凡的闭不

3、变子空间，实际上这个子空间就是S的闭超不变子空间。这里通过子空间的超不变性，从一个算子传递到与之交换的另一个算子，是处理不变子空间问题的常用手段。除了核与值域之外，我们还有另一类常见的超不变子空间，那就是线性算子T：X→X的特征值空间。由此可得，有限维复Banach空间上任何非数值算子都有非平凡的超不变子空间。对于有限维实Banach空间X的情形，结论则稍微复杂一点：假若dimX的奇数，那么T的非平凡超不变子空间一定存在；假若dimX≥4是偶数，那么T的不变子空间一定存在，但未必是超不变的；假若dimX=2，那么T甚至可以没有非平凡不变子空间，对此只要取旋转算子就可以了。对于无

4、穷维空间的情形，问题就变得非常复杂。最新的研究表明，哪怕就是在最简单的Hilbert空间上的有界线性算子，也可以不存在非平凡的不变子空间。当然啦，即便是对于非紧算子而言，存在非平凡闭不变子空间的情形也是比较广泛的，比如Hilbert空间l^2上的右平移算子R（x_1,x_2,…)=(0,x_1,x_2,…）就有非平凡闭不变子空间{x∈l^2；x_1=0}.下面我们要讨论的一类重要情形是关于紧算子的，直观的来看紧算子就是把很大的Banach空间映射到一个比有限维空间大不了多少的地方（有限秩算子的闭包），因此它有很多类似有限维空间的特征。具体来说，这个结论（及其很多推广后的形式）一

5、般被称为Lomonosov不变子空间定理，说无穷维复（或实）Banach空间上的紧算子都有无穷维的非平凡闭超不变子空间。由此可以推出，只要有算子与那个紧算子交换，那么至少会有非平凡的闭不变子空间。与紧交换的算子有两个重要特例，首先是所谓的幂紧算子，即存在某个自然数n，使得算子T^n是紧算子。幂零算子显然都是幂紧算子，无穷维Banach空间X上的恒同算子显然非紧，因此T：X+X→X+X；T(x,y)=0+x就是一个非紧是幂紧算子。比幂紧算子更为广泛的是多项式紧算子，即存在一个多项式p，使得p（T）是紧算子。数乘算子都是多项式紧算子，但它们一般都可以不是幂紧算子。有人也许会想，是不

6、是还有指数紧的算子呢？这个意义就不大了，因为紧算子的指数一般未必是紧算子，即便是最简单的零算子，其指数恒同算子在无穷维空间上就是一个典型的紧算子。多项式紧算子实际上可以看成一类算子，这就启发我们要处理一类算子代数的子空间问题。算子代数族A称为可迁的，若存在非平凡的闭A-不变子空间；否则就称为不可迁的。这样的一类A-不变子空间的例子就是Ax={Ax；A∈A}，还要求闭不变子空间的话可以取其闭包，显然，它与算子的超不变子空间有如下关系，T有非平凡闭超不变子空间iff其交换子代数{T}’是不可迁的。下面我们来分析一下Lomonosov不变子空间定理的证明，这个思想可以用来处理很多类似

7、的不变子空间问题，大致分为这么几个步骤。1）化约：首先假设算子T不存在这样非平凡闭不变子空间，同时不妨假定令‖T‖=1.既然特征空间是闭不变子空间，那么就可以转化为幂零算子的情形；取A={T}’，既然Ax的闭包是闭不变子空间，那就可以不妨假设其闭包为全空间X.2）覆盖：先取定a∈X，‖a‖＞1，‖Ta‖＞1，U={x∈X;‖x-a‖≤1}，然后用形如O_A={y∈X；‖Ay-a‖≤1}的空间去覆盖T（U）的闭包，得到有限个子集O_A_j，其中各A_j属于A.3）迭代：既然Ta∈T（U），则存