strongart数学笔记：浅谈叶状结构的微分几何学

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1、浅谈叶状结构的微分几何学(2014-08-3013:56:24)约定：本文中提到的流形都是光滑的。简单来说，流形上余维q的叶状结构（foliation）就是把n维流形分解成若干（n-q）维局部平凡的浸没子流形。这样的叶状结构一般被视为非交换几何的研究对象，它在微分几何中沟通了很多领域，本文就对它的几何性质做一个小结。下面看流形上叶状结构的技术性定义，在n维流形M的余维q的叶状卡（foliationatlas）（0≤q≤n）指M的卡f_i：U_i→R^n=R^（n-q）×R^q，其卡替换同胚局部形如：f_ij（x，y）=（g_ij（x，y），h_i

2、j（y））M的余维q的叶状结构就是指M上的最大n-q维叶状卡。各叶状卡内f_i^（-1）（R^（n-q）×{y}），y∈R^q的连通分支称为板（plaque），在流形上连成整体的板称为叶（leaf），所有的叶给出了M上也叶状结构F，带叶状结构F的流形M称为叶状流形（foliatedmanifold），记作（M，F）.实际上，M内的叶定义出一个等价关系：x～yiffx与y位于同一个叶。由此可以作商得到叶空间M/F，称为叶状结构（M，F）的叶空间。一般来说，叶空间可以不是Hausdorff的。下面看叶状结构几个典型例子：1）纤维束（fibrebund

3、le，大陆的数学工作者一般称它为纤维丛），其纤维就是天然的叶，由此可见叶状结构就是纤维束的推广。2）淹没（submersion），流形上的淹没映射f：M→N自然定义出叶状结构，其各叶是f^(-1)(y)，y∈N的连通分支，这样的叶状结构称为简单叶状结构（simplefoliation）.假若各纤维f^(-1)(y)，y∈N都是连通的，那么得到的叶状结构称为严格简单叶状结构（strictlysimplefoliation）.简单叶状结构是严格简单的iff其叶空间是Hausdroff的。实际上，纤维束结构就是简单叶状结构的特例，但并不是所有的简单叶状

4、结构都是纤维束，比如下面的Reeb叶状结构。3）Reeb叶状结构：考虑淹没f：R^2→R，f（x，y）=（x^2-1）e^y，由它给出的叶状结构在x=±1时有奇异性，因此就不是纤维束。类似的结构可以被推广到的高维，其图示参见[4]的PartII.1.4）环面上的Kronecker叶状结构：取定某个无理数θ，在环面S^1×S^1上，其叶可以由f_a：R→S^1×S^1，f_a（t）=（e^2πit，ae^2πiθt）给出。这个叶状结构中的每个叶都是环面上的一条稠密轨道，它不是简单叶状结构。对于n维流形M上的q维叶状结构F，我们还有其他的等价定义：1

5、）Haefliger上环定义：对M上的开覆盖{U_i}，有淹没s_i：U_i→R^q，使得同胚r_ij：s_j（U_i∩U_j）→s_i（U_i∩U_j），满足r_ij·s_j=s_i.这里的r_ij满足上环恒等式，称为表示F的Haefliger上环.2）可积子束定义：通过TM的秩为n-q的可积子束E定义。这里的可积性就是说E在李括号的作用下封闭。3）外微分理想定义：通过外微分分次代数Ω（M）内秩为q的局部平凡微分分次理想J来定义。这里局部平凡性是在任何点都有局部开邻域U，使得J

6、U由q个线性无关1-形式生成，而理想J是微分的指dJ∈J.假若我们

7、把最先的叶状结构定义记作0），那么0）与1）的等价实际上是平行于纤维束的，2）中的可积子束E实际上就是各叶的切束，而2）与3）的等价则是微分流形上的Frobenius定理。直观的看，叶状流形（M，F）可以分成“横向”的叶与“纵向”的截面。这是类比于纤维束来理解的，只不过在通常的示意图中，纤维束的纤维是竖直的，而叶状结构的叶却是水平的。叶状结构的一般性质就是保持其叶不变的截面性质，对于可定向性，则就有叶的可定向性与截面的可定向性的区别。设x，y是在M的同一叶L上，α是L内从x到y的道路，若存在一个叶状卡U包含α，取T与S分别为过x与y的截面，定义h

8、ol（α）为内从x到y的微分同胚芽，称为α在L内关于横截T与S的完整群（holonomygroup）.一般若是x与y不在一个叶状卡内，则可以通过叶状卡的“接力”与完整群的复合实现。可以证明，同伦的道路诱导相同的完整群。对x点的截面T，我们有L的完整同态hol：π（L，x）→Diff_x（T）=Diff_0（R^q），其像Hol（L，x）称为L的完整群。L内从x到y的两个道路α与β有相同的完整结构，若hol（αβ^（-1））=1，这是定义在同伦道路上的等价类，称为完整等价类。我们还可以定义叶状流形（M，F）的完整群胚（holonomygroupoi

9、d）为：G（F）={（x，hol（α），y）；存在叶L包含x，y与道路α从x到y}其对象G^0=M，复合由完整群的复合自然诱导。对于简单