strongart数学笔记：浅谈辛几何与辛流形

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1、浅谈辛几何与辛流形最近学了一点辛几何，给大家谈几点初级想法，主要是侧重于辛流形的基本概念，解释一下什么是“HamiltonG-空间（M，ω，Φ）”，后者似乎是辛几何中经常出现的对象。现代几何学的基本舞台是流形，但在研究一般流形时都默认读者已经了解线性空间，而这里辛流形用到的线行空间是带有辛结构的，这一点一般读者未必都熟悉，因此一般辛几何的入门书籍大都从辛线性空间开始介绍。所谓的辛线性空间，就是一般线性空间V上加一个辛结构ω，它被定义为V上的一个非退化反对称双线性形式，对此，可以类比所谓线性空间的正交结构，这里的辛结构则是把正交结构中的对称换成了反对称，类似的我们也可以定义辛向量空间下正交补的

2、概念，只不过此时可能出现子空间W≤W⊥的情况，这样的子空间被称为迷向的（isotropic）；假若W=W⊥，则子空间W称为Lagrange的。辛向量空间（V，ω）上结构可以由辛基完全决定，所谓的辛基是指一组向量{e_1,…,e_d,f_1,…,f_d}，它满足条件ω（e_i,f_j)=δ_ij，ω（e_i,e_j）=ω（f_i,f_j）=0.任何辛向量空间内都有这样的辛基，因此总是偶数维的，同时任何2d维辛向量空间都同构与d个R^2上辛向量空间的直和。在此辛基下，V的Lagrange子空间均占据着一半的辛基，不妨就设为e_1,…,e_d，要是再添上另外的f_i项，那就只能称为是迷向子空间了。

3、把正交结构推广到一般流形上就得到一个黎曼结构，而把辛结构推广到流形上马马虎虎的还是叫辛结构。具体来说，假若流形M上带一个反对称的非退化闭二形式ω，那么（M，ω）就称为一个辛流形。对于辛流形我们有如下的典型性质：1.偶数维：这是因为流形的维数就是切空间的维数，而切空间就是上面提到辛向量空间，因此一定是偶数维的。2.可定向：这个是因为我们可以对ω做外积，得到它的体积形式ω^d，这里d=dimM/2.3.若M是紧流形，偶数阶deRham上同调群H^2i(M，R）（1≤i≤d）非平凡：ω^i就是H^2i(M，R）的非零元素。4.切丛TM标准同构与余切丛T*M：具体来说，对任何x∈M，可由内积v→i（

4、v）ω_x，v∈T_x(M)给出这里的对应关系，5.辛结构ω在局部坐标可取为与C^d相同的标准形式ω=dx_1∧dy_1+…+dx_n∧dy_d，这个结论被称为Darboux定理。它说明同维数辛流形在局部上都是辛同胚的。由此可见，辛流形与Riemann流形的状况是完全不同的，在Riemann几何位于中心地位曲率概念在辛几何中是平凡的。有人对此可能会有疑问，辛流形与Riemann流形的主要差别就是2-形式的对称与反对称，出现迷向的情况还是可以理解的，但似乎不至于一下子让曲率消失掉。通过与国外学者交流，我明白了其中的奥妙，主要就是辛流形的概念中的微分形式ω是闭的，也就是说还附加一个微分方程dω=

5、0，而在Riemann几何中这个微分方程就对应于曲率为零的条件，辛几何其实只是对应于Riemann几何中的一个特例而已。由此可见，辛流形的条件还是相当苛刻的，即便是最常见的球面，一般还无法构成辛流形（n>2维球面的二阶上同调群平凡！）。然而，我们却又一大类特殊的辛流形，这就是一般光滑流形Q的余切丛T*Q，后者自然带有一个辛流形的结构。假若π：T*Q→Q是一个自然投影，我们可以定义T*Q上的典型一形式α如下：对任何p∈Q<α_p,v>=,v∈T_p(T*Q)进而得到T*Q上的典型二形式：ω=-dα这样得到ω不仅是闭的，而且还是恰当的。假若一个辛流形上的辛形式ω都有这样的恰

6、当形式，那么它就称为恰当辛流形。光滑流形的余切丛都可以被构造成恰当辛流形。在余切丛T*Q内，Q的截面像构成T*Q的一个Lagrange辛子流形，即其切空间是T*Q的切空间的Lagrange子空间且继承了T*Q的辛结构的子流形。下面来谈谈辛流形（M，ω）上的一些几何构造。先看所谓的辛向量场，它可以由D_X(ω)=0定义，此外还有对应于M上某个函数H的Hamilton向量场，它由i（X_H)ω=dH定义。通过Weil公式，D_X=di(X)+i(X)d可以证明Hamilton向量场都是辛向量场。记（M，ω）上所有辛向量场的空间为S（M，ω），所有Hamilton向量场的空间为H（M，ω），我们有

7、基本的正合列：0→H^0（M；R）→C^∞（M）→S（M，ω）→H^1（M；R）→0其中C^∞（M）→S（M，ω）是由函数f映射到它决定的Hamilton向量场H_f上的映射，当上同调群H^1（M；R）=0时，M上所有的辛向量场都是Hamilton向量场。给定C^∞（M）内的两个函数f与g，我们还可以定义Poisson括号如下：{f，g}=-ω（X_F，X_G)=i(X_F)dG=X_FG由此给出C^∞（M）