毕业论文-群的扩张与群的上同调的研究

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1、安庆师范学院数学与计算科学与2013届毕业论文各专业全套优秀毕业论文图纸群的扩张与群的上同调的研究作者：指导老师：摘要:确定哪些G 是给定群H通过群N 扩张是群扩张问题,从19世纪来就被广泛研究.上同调是使用一系列函子 Hn研究这个问题的重要方法。本文综述群的中心扩张与循环扩张的概念以及上同调群的定义，最后列出上同调在群扩张问题上的基本应用。关键词:上同调群群扩张群上同调1引言在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学

2、及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科，如拓扑群、李群、代数群、算术群等。群的扩张是群论中的一个重要问题，其自诞生之后就进行着不断的发展和演变，近代研究者们讨论了由群扩张构成的群系,给出它为饱和群系的几种情况及局部定义组。在本文中，将主要就群扩张的基本类型进行综述，介绍相关的概念和性质。群的上同调是一套研究群及其表示的代数工具，其源于代数拓扑，并在代数数论上也有重要的作用，它是现代类域论的基本构件之一。本文在群扩张的基础上，给出上同调群的相关定义

3、，最后通过一些定理和实例详述上同调在群扩张问题上的基本应用。2群的扩张2.1正规子群和商群的合成一般的说，包含已知群的任何群都叫做的扩张.本文将只讨论是的正规子群的情形.施赖尔最先考虑构造所有这样的群的问题，具有已知的正规子群和已知的商群至少总存在一个这样的群，因为和的直积就具有这个性质.我们先假定给了这样的群，设商群的元素记做的每个元素对应于在内的一个傍系.设对应于的傍系在内的代表是，而且约定用的单位元素作为的代表.于是(2.1.1)而且同态使得(2.1.2)于是对于所有，映射(2.1.3)第14页共14页安庆师范学院数学与计算科学与2013届

4、毕业论文是的自同构，因为是正规子群.又因为在从到上的同态下，所以，(2.1.4)这里.由（2.1.4）给定的所有元素的集合我们叫做因子组，于是在的构造中出现下列四个已知条件：正规子群.商群.的自同构:由组成的因子组，这里必须强调的是，一般地说，由（2.1.3）和（2.1.4）定出的自同构和因子组依赖于与对应的傍系的代表的选取.定理2.1.1给了具有正规子群和商群的群.如果选取傍系代表，这里而且取，则就决定满足下列条件的自同构和因子组：反之，如果对于每个，给定的自同构，而且对于这些自同构和因子组，上述条件成立，则元素连同乘法规则决定具有正规子群和商

5、群的群.如果略去的要求，则取作为的单位元素时定理仍然成立.由和因子组决定的唯一扩张将记做如果更换在的傍系代表，取(2.1.5)而且规定即，则自同构就更换成(2.1.6)第14页共14页安庆师范学院数学与计算科学与2013届毕业论文而因子组更换成因子组，使得.(2.1.7)定义2.1.1.两个扩张和是等价的，加入在自同构和因子组之间有关系这里是元素的在内取值的函数，而且.我们记做与的等价性取决于更换同一个群内子群的傍系代表，因而它显然是对称的、自反的和传递的真等价关系.如果在内的傍系代表能取成使(2.1.8)即，则傍系代表组成同构于的群，可以把它与

6、等同起来.如果这种情形出现，则我们说是的可裂扩张，或说是和的半直积.定理2.1.2.是的可裂扩张，必要而且只要存在函数使得对于所有，都有证明.如果所取的傍系代表使成为的可裂扩张，则，而且当取时，就有(2.1.9)反之，如果函数存在，使得（2.1.9）成立，利用条件决定对应于的自同构.于是存在，而且等价于对所有第14页共14页安庆师范学院数学与计算科学与2013届毕业论文都有的扩张，因而是的可裂扩张.2.2中心扩张假定在群借助于群的扩张中，所有因子都属于的中心.那么我们说是借助于群的中心扩张.例如如果是阿贝尔群，则，因而的所有扩张都是中心扩张.对于

7、中心扩张，简化成，(2.2.1)这说明的自同构组成一个群，它是的同态像.设表示从到的自同构群的同态.再有，如果傍系代表由属于的因子来更换，则自同构不变.因此，对于扩张，自同构是固定的而且组成一个群，它是的同态像.对于中心扩张，这就取消了条件，而只需要考虑.这时对于等价的扩张有，(2.2.2)这里.如果因子组和都满足，而且组成决定的扩张的因子组.在因子组乘积的这个定义下，存在着单位元素，即所有的因子组，还存在逆，即把换成的因子组.再有，对于等价的因子组，如果和，则.因此全体因子组是一个阿贝尔群，即使把等价的因子组等同起来也是如此.把等价的因子组等同

8、起来而得到的群叫做扩张群.设是有限的，我们定义.(2.2.3)对于所有的乘起来，我们得出,(2.2.4)这里是的阶.与（2.2.2）比较