《数列、数学归纳法、数列极限》

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1、《数列、数学归纳法、数列极限》松江四中朱成兵第一部分《数列》一、知识点：1等差数列的通项公式：推广：；等比数列的通项公式：推广：2等差数列的前项和公式：，；等比数列的前项和公式：，3等差数列中，若，则；等比数列中，若，则4两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列；两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列、、仍为等比数列。5等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列；等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。6若为等差数列，则是等比数列；若是等比数列，则是等差数列。7等差数列中，当时，是关于的一次式

2、：；当时，是一个常数：。8等差数列前项和公式：24当时，是关于的二次式且常数项为0，即；当时，是关于的正比例式；等比数列的前项和公式：当时，是关于的正比例式。9等差数列的任意连续项的和构成的数列、、、、……仍为等差数列；等比数列的任意连续项的和构成的数列、、、、……仍为等比数列。10数列的通项与前项和的关系：二、专题复习：专题一基本量法根据等差（比）数列的定义，它由首项和公差（比）所确定，因此首项和公差（比）是等差（比）数列的基本量，解决等差（比）数列的问题可以把问题中的其它量转化为求基本量首项和公差（比

3、），使求解的数列问题转化为求首项和公差（或公比）的等式或不等式问题。例题1.是等差数列，且，求的值。解法一：（基本量法）得解法二：，又，而。24注意：在解答等差数列或等比数列的有关问题时，“基本量法”是常用方法，但不一定是最好的方法。不过，对于条件不复杂的问题，“基本量法”是够用的。专题二方程思想在等差数列中，有五个量，它们是项数、首项、通项、公差及前项和。基本公式有三个：；；。在等比数列中，也有五个量，它们是项数、首项、通项、公比及前项和。基本公式也有三个：；；每个公式中含有四个量，一般情况下，在五个量

4、中知道了其中的三个量，通过求代数式的值或解方程、方程组可以求出其他两个量。这种解法称为“知三求二法”，它渗透了方程的思想方法。例题1.在等比数列中，，，，求和。解：专题三函数思想由于数列可以看作定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，因此数列和函数之间有着密切的联系，许多数列问题可以用函数的方法来处理，通过研究函数的性质（如函数的单调性、最大值和最小值等）来解决有关的数列问题。24特别地，对于等差数列有：（1）等差数列（2）等差数列（3）时，递增；时，为常数列；时，递减。例题1.在等差数列中，若，且，问

5、数列前多少项之和最大？解法一：根据等差数列的性质，公差不为0的等差数列，其前项和是的二次函数（其中常数项为0）。设，因为，故此二次函数对称轴，且由可得，所以。因此，该数列前13项之和最大。解法二：由得，又，故，因为，所以该等差数列单调递减且正数项有限，令，又因为，故。解法三：由得，又，故。这是关于正整数的二次函数且开口向下，所以当时，最大。解法四：因为，所以即，则，所以，而，由于等差数列可以看成是关于正整数的单调函数，所以，因此前13项之和最大。专题四类比思想24等差数列与等比数列在定义、通项公式、递推公

6、式以及其他一些相关的性质和解题方法上，都有类比之处。例题1.2000年高考第12题“在等差数列中，若,则有等式：成立，类似上述性质，相应地：在等比数列中，若则有等式成立”。答案：。练习：1（1）已知：等差数列的前项和记为，且，求证：；（2）类比（1），在等比数列中，你能够得出什么结论？并证明你得出来的结论。解答：（1）证明：在等差数列中，设是其前项的和，因为、、成等差数列，所以，即。（2）类比猜测：等比数列的前项积记为，且，，则证明：在等比数列中，设是其前项的积，因为、、、成等比数列，所以即。练习：2（1

7、）已知是等差数列，且、，求证：。24（2）类比猜测正项等比数列{中相应的命题并加以证明。证明：（1），==（2）类比猜测：已知为等比数列，且，且、，则证明。专题五分类思想在运用等比数列的前项和公式时，要注意按公比和分类讨论；在已知求时，应先分和两种情况分别运算，然后验证能否统一。例题1.已知为等比数列，且，求与的值。解答：（1）当时，，故。（2）当时，两式相除得。综上所述或练习：已知为等比数列的前项和，且，，求。答案：76例题2.已知数列的前项和，则通项=24解答：（1）当时，（2）当且，由于时，所以，追

8、问：若数列的前项和为，则这个数列一定是BA等差数列，B非等差数列C常数列D等差数列或常数列练习：1已知数列的前项和，则通项=2若数列的前项和为，，则2解答：（1）时，（2）且时，由于时，因此，，专题六化归思想有意识加强化归的思想方法的运用，将非等差数列、非等比数列化归为等差数列、等比数列，使原问题得以解决。例题1：在数列中，，，（），求。解：得：，从而，即，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，，得。例题2：在数列中，，