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《不动点法求数列的通项》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、不动点法求数列的通项记函数f(x)的定义域为D，若存在D，使＝f()成立，则称（，）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{an}中，an+1=f(an) (nN+)，若存在满足方程＝f()，称为不动点方程＝f()的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。一、递推式为an+1=aan+b(a0,a1,a,b均为常数)型的数列由递推式an+1=aan+b总可变形为an+1－=a（an－） …………………………
2、（１）（１）式中的与系数a,b存在怎样的关系呢？由（１）得an+1=aan＋－a∴b=－a即＝a+b …………………………（２）关于的方程（２）刚好是递推式an+1=aan+b中的an，an+1都换成得到的不动点方程。令bn=an－代入（１）得bn+1=abn一般来说，可先求等比数列{bn}的通项，再求数列{an}的通项。例１：在数列{an}中，已知a1=1,an+1=1－an(nN+),求a。解：令x=1－x得x=an+1－=1－an－=－(an－)令bn=an－，则bn+1=－bn∴数列{bn}成首项为b1=a1－=1
3、－=，公比为q＝－的等比数列，于是有bn=(－)n－1即an－＝(－)n－1∴an=[1－(－)n]20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythel
4、ender7∴a=二、递推式为an+1=（c0,a,b,c,d为常数）型的数列an+1－=－＝=令＝－可化得＝ …………………………（３）关于的方程（３）刚好是递推式an+1=中的an，an+1都换成后的不动点方程。当方程（３）有两个不同根１，２时，有an+1－１＝an+1－２＝∴＝令bn=有bn＋１＝bn一般来说，可先求等比数列{bn}的通项，后求数列{an}的通项。例２：数列｛an｝由a=2，an+1=（n≥1）给出，求a。解：令x=,得x1=1,x2=-1，于是有an+1-1=an+1+1=20curre
5、ncydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender7∴=·设bn=,则bn+1=bn这样数列{bn}成首项为b1==,公比为的等比数列,于是bn=·,由b
6、n=得an==∴a=1当方程（３）出现重根同为时，由an+1－＝得＝＝＋设cn=得cn＋１＝cn＋即数列{cn}的递推式总可化为“cn＋１＝acn+b （a，b为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列{cn}的通项，从而求数列{an}的通项。例３:在数列｛an｝中，an=1,a=(n=1,2……)。求a。解：令x=,得x1=x2=0设bn=,则由a=可得b=bn+∴{bn}成为首项为1,公差为的等差数列,于是b=1+20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucar
7、daccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender7∴a=需要指出的是，上述方法同样适用于方程（３）两根不同的情形。对例２，可设cn=（或cn=），我们运用上述方法来求数列｛an｝的通项。例２另解：令x=,得x1=1,x2=-1，于是有an+1-1=∴=
8、=+令bn=，则b1==1，bn+1=2bn+令＝2+得＝－bn+1+=2bn++=2(bn+)∴{bn+}成首项为b1+=，公比为的等比数列，于是有bn+=×2n-1∴bn=×2n-1-=(3×2n-1-1)代入bn=得an=1+=1+=1+∴a=1三、递推式
