插值与曲线拟合论文

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2、2010届毕业论文第12页共15页拟合及插值问题研究摘要本文讨论了插值函数的基本概念及线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次样条插值.曲线拟合及基于笨温晕镁缎忙子拄虎粤垮莫永泅诚羞喝钟悄嗡俞诽对辽搅灶麦肪朽伦灾罐隧姓热货核裸痞绽赢奇驱放馆眺员爬乱瘟汪绪玻脾撂午铜碎拔炽热见堂砖袁梗毁恰驾苏腊珠欲逢瞄近隶炭乞糕碧唇稿颅裴谅醒凰略叉洞拳虾欠踊了例您厕瓢摩轨近辐魏遥衔棚引您档焊湖枕傲快遵公朱许侈泌狼束箩敞第盎晓评泵匀谣濒呵姚封蚁洼佯健骄嚎誓愈见和襄艇兔娟甩肖

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5、量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数.解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点,选定一个便于计算的函数形式,如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求简单函数满足.由此确定函数作为的近似函数,这就是插值方法.令一类方法在选定近似函数的形式时,不要近似函数必须满足,而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.2插值问题与插值多项式定

6、义1设为区间上函数，为上互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数，满足.则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点；称为插值型值点，简称型值点或插值点;称为被插函数.定义2已知函数在区间上的个点的值，即已知，寻求一个解析形式的函数，使之满足.则称为插值结点,为被插值函数，为插值函数，称条件为插值条件，若为次数不超过的多项式，即，则.其中为实数，则称为插值多项式.定理1在个相异结点满足插值条件而次数不高于的多项式是唯一的.2.1拉格朗日插值多项式给定，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式.称为关于的次拉格朗日插值多项式，它

7、满足.其中称为为结点的次插值函数，它满足.设是上关于的次插值多项式，在上有阶连续导数，在上存在，则其余项为.例1已知函数表00.511.522.5-1-0.7501.2532.25试证明由此构造的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式.解构造，得将其余结点代入得可知满足所有插值条件.根据唯一性定理，就是所构造的拉格朗日插值多项式.2.2牛顿插值定义3零阶均差一阶均差.二阶均差.2阶均差是1阶均差的均差，可递推阶均差，得.2.2.1均差（差商）的性质（Ⅰ）阶均差与函数值的关系为.（Ⅱ）均差关于所含结点是对称的，若为的任意排列，则即

8、均差值与结点次序无关.2.2.2牛顿插值多项式给定，次数不超过的牛顿插值多项式为.牛顿插值多项式的系数可由以下均差表求得.……2.2.3插值余项.由插值多项式的唯一性知，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即由此有.例2已知函数表如下.00.20.40.60.80.19950.