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《§. 数据的曲线拟合与插值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.7数据的曲线拟合与插值在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点，这种方法就是曲线拟合或回归。另一方法是插值法，在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。本节所讲的曲线拟合主要以多项式拟合为主，对Matlab中所涉及的插值法作详细介绍。1．数据的曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义
2、最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。这里先介绍最小二乘曲线拟合的基本理论，再着重介绍Matlab的最小二乘多项式拟合。(1)基本知识1)最小二乘法则已知函数的一组实验点，在一个函数集合中选择一个函数作为函数的近似表达式，使这里为已知的一组数值，。函数集合称为拟合函数类。2)线性模型拟合最小二乘法确定函数作为函数的近似函数时
3、，使用的拟合函数类是由已知函数的线性组合构成的线性空间则称是的线性模型拟合。这里已知函数称为基函数，它们彼此是线性无关的。133)多项式拟合在函数的线性拟合中，当取基函数，拟合函数类是次多项式空间，此时得到的拟合函数称为多项拟合或最小二乘多项式拟合。(2)多项式拟合Matlab的最小二乘多项式拟合的命令函数为polyfit，使用格式和功能为：格式：[p,s]=polyfit(x,y,n)功能：对于已知的数据组x,y进行多项式拟合，拟合的多项式的阶数是n，其中P是一个长度为n+1的向量，P的元素为多项式
4、系数，s为预测误差估计值的矩阵。例1将x与y对应作多项式曲线拟合，其中x=[0.1.2.3.4.5.6.7.8.91]且y=[-.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2]。命令如下：»x=[0.1.2.3.4.5.6.7.8.91];»y=[-.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];说明：为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。如果我们选择n=1作
5、为阶次，得到最简单的线性近似。通常称为线性回归。相反，如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式。现在，我们选择一个2阶多项式。»n=2;%polynomialorder»p=polyfit(x,y,n)运行得结果:p=-9.810820.1293-0.0317说明：polyfit的输出是一个多项式系数的行向量。其解是y=－9.8108x2＋20.1293x－0.0317。为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。»xi=linspace(0,1,100);%x-axisdataforp
6、lotting»z=polyval(p,xi);说明：为了计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyval。»plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':')说明：画出了原始数据x和y，用'o'标出该数据点，在数据点之间，再用直线重画原始数据，并用点':'线，画出多项式数据xi和z。»xlabel('x'),ylabel('y=f(x)'),title('SecondOrderCurveFitting')说明：将图作标志。这些步骤的结果表示于前面的图7。1中。13图7.1二次多项式
7、曲线拟合2．数据的插值(1)一维插值正如在前一节对曲线拟合所描述的那样，插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。下面介绍一些插值方法。1）Lagrange插值法 (I)待定系数法：假设插值多项式，利用待定系数法即可求得满足插值条件的插值函数。关键在于确定待定系数。13 (II)利用基函数的构造方法首先构造个满足条件：的次插值基函数，再将其线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：其中 (
8、III)Lagrange插值余项注：上述两种构造方法所得的Lagrange插值多项式是一样的，即满足插值条件的Lagrange插值多项式是唯一的。Lagrange插值法的计算有规律、简单、易于编程。但生成的多项式与用来插值的数据关系很大，如果数据有所改变，函数就要重新计算，如果数据很多，计算量则很大，因而在一定情况很不方便。由于Matlab没有给出Lagrange插值多项式函数，这里给出用此法M文件lagrange.m代码。function[yy,c]=
