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《插值法与曲线拟合(0916)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、简明数值计算方法漳州师范学院计算机科学与工程系第二讲插值法与曲线拟合主要内容插值法拉格朗日插值差商与差分牛顿插值公式逐次线性插值法三次样条插值曲线拟合曲线拟合的最小二乘法2.1插值法在实际问题中，我们会遇到两种情况变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值例如:从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只能计算特殊点的函数值例如:求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。®2.1插值法设函数在区间上有定义
2、,已知在点上的函数值,,即。插值问题:求一个简单函数使得插值条件插值函数插值节点如果是多项式,则称为插值多项式求插值函数的方法称为插法…………[a,b]称为插值区间如何构造P(x)???®2.1插值法设函数在区间上有定义,已知在点上的函数值,,即。nkyxPkk,...,2,1,0,)(==是否存在多项式使得当n=0时,只有一个插值节点的情形当n=1时,有两个插值节点的情形当n=2时,有三个插值节点的情形插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过n的多项式集合中，满足插值条件的插值多项式是存在并且唯一的。是否任意给定n+1个不同的插值节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式??
3、®2.1插值法例1:给定数据表如下(1)用一次插值多项式计算f(0.7)的近似值(2)用二次插值多项式计算f(0.7)的近似值(3)用三次插值多项式计算f(0.7)的近似值x0.20.40.60.81.01.2f(x)212523202124求三次插值多项式要解一个四阶线性方程组,计算量大太了,有没有更简便的办法???®2.1插值法拉格朗日(Lagrange)插值多项式例2:数据如例1,应用拉格朗日多项式重新计算(1)(2)(3)拉格朗日插值的优缺点:公式结构紧凑,在理论分析中方便,但如遇节点增减,所有数据需全部重算®2.1插值法牛顿(Newton)插值多项式记函数在的值，
4、称为关于的零阶差商。称为函数关于点的一阶差商一般地，关于的k阶差商为®2.1插值法差商表一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差例3:数据如例1写出差商表,应用牛顿插值多项式重新计算(1)(2)(3)®2.1插值法设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长。在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化。®2.1插值法差分的定义称为在处以为步长的向前差分称为在处以为步长的向后差分称为在处以为步长的中心差分下面以向前差分为例,向后差分和中心差分的情形相似用一阶差分可以定义二阶差分一般地可定义m阶差分为®2.1插值法差分表牛顿向前差分
5、插值公式例4:数据如例1写出差分表,应用上式重新计算(1)(2)(3)®2.1插值法高次插值的病态性质对于一个确定的区间,插值节点越多,插值多项式的次数越高插值。20世纪初，Runge(龙格)就给出了一个等距节点插值多项式不收敛到的例子。设，在区间上取个等距节点,构造拉格朗日插值多项式为其中®2.1插值法龙格现象如何避免高次插值的病态问题???®一种可行的办法是采取分段低次插值2.1插值法分段线性插值:从几何上看，就是用折线逼近曲线。设是区间 上的函数，在节点上的函数值为，记则的分段线性插值函数定义为:在区间上显然有®2.1插值法分段线性插值示意图…………®例5:数据如例1
6、,应用分段线性插值计算f(0.5),f(0.75)的近似值2.1插值法分段二次插值:设是区间 上的函数，在节点上的函数值为，记则的二次插值函数定义为:在区间上显然有®2.1插值法分段二次插值示意图®例6:数据如例1,应用分段二次插值计算f(0.5),f(0.75)的近似值…………2.1插值法三次样条插值函数定义：对于区间上给定的一个分划如果函数在子区间上都是不超过3次的多项式，并且2阶导数在内节点处连续，则称为区间上以为节点的三次样条函数。对于函数，若还满足插值条件：则称为在区间上的三次样条插值函数。®2.1插值法三次样条插值示意图:例7:数据如例1x0.20.40.60.
7、81.01.2f(x)212523202124®如何求三次样条插值函数???2.1插值法三次样条 是节点上的分段三次多项式，故可写成:其中为待定系数，共有个未知数，而应满足的条件为：(1)插值和函数连续条件个；(2)内节点处一阶导数连续个条件；(3)内节点处二阶导数连续个条件；总共由个条件，因此，要确定个系数，还需要附加两个条件。用待定系数法需要解一个4n阶的线性议程组,有没有更简便的方法???®2.1插值法求三次样条插值函数的三弯矩算法记经过推导可得根据的一阶导数在内节点的连续性,可得到®2.1插值法在实际应用中
