浅析向量在平面几何中的应用

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1、浅析向量在平面几何中的应用自从向量知识进入中学教材以来，向量作为一个工具来研究和解决数学问题被引起了极大的关注，特别是用来解决平面几何中的问题，其工具性更为突出。一方面，向量与平面几何本身存在着密切的联系，且平面几何中的许多问题需添加辅助线，有时需进行论证推理，致使许多学生对几何问题都有一种畏惧的心理；另一方面，向量的运算许多都可转化为实数的运算，不用去考虑几何图形的形状，这样容易入手、简捷、明快，它克服了平面几何综合论证中常要添加若干辅助线而显得不宜捉摸的缺点，即用向量解平面几何具有一定的优越性。并且用向量解平面几何问题，可以激发学生的兴趣，拓宽学生的思维，培养

2、学生的创新意识和能力。1.向量与平面几何的联系向量与平面几何的联系是向量本身决定的。首先，从向量的概念来看，既有大小又方向的量称为向量，用有向线段来表示，并规定：有向线段的方向就是向量的方向，有向线段的长度就是向量的大小，称为向量的模，因此向量的模与平面几何中的线段建立起了联系。其次，由于我们研究的向量是自由向量（只有大小和方向，而无特定位置的量），所以任何向量都可平移到始点为坐标原点的向量，称之为向径。即若向径，则对应平面上的点，反之若平面上的点为，则向径，于是向径与平面上的点就建立了一一对立的关系。在平面几何中，平面几何图形是点的集合，而这些平面几何的点又可以

3、用向量来表示，故从向量的相关概念与平面几何中的元素关系来看，平面几何问题中的线段相等、平行、垂直、线段的长度、线与线的夹角均可转化为相应的两向量的模相等、两向量平行、垂直，求向量的模及两向量的夹角等。引理（1）若，则（2）若，则第11页共11页（3）若，，则2.向量在平面几何的应用分析由向量与平面几何的联系可知，平面几何问题可转化为向量问题来解决，在这个转化过程中，首先需要将已知条件和所求问题转化成向量，否则无法用向量解决。然后再用向量的相关性质和运算解决问题，最后还原问题的本质，翻译成几何问题形式。2.1建立适当的坐标系，将所求问题向量化一个向量可用或有向线段表

4、示，其大小为，此时向量的方向只能用方向角或方向余弦来表示，元素较多，然而向量也可用坐标分量表示，而且向量的性质及运算用坐标表示非常清晰、明了，就是一些实数的加、减、乘等的运算，已经代数化了。向量在许多方面的应用也多用坐标分量表示，这就需要先建立直角坐标系，用坐标分量表示出向量，将问题向量化。例1P是正方形ABCD的对角线BD上的任意一点，且PECF是矩形，证明：PA=EF且PA⊥EF。：若题目中所给的图形较为规则(如:正方形、矩形、圆等)，则只需建立适当的坐标系，就可以将平面图形的点、线用坐标简捷、明了的表达出来，且点、线的向量坐标表示容易求解。第11页共11页图

5、1AyxDBFEPC解：以D为坐标原点，建立坐标系如图1设正方形的边长为a，则A（0，a）、C（a，0）、B（a，a）、D（0，0）又设P（，）（a），则E（，0）于是=（，）-（0，）=（，-），=（，）-（，0）=（-，）=，==，即又·=（-）+（-）=0⊥即就此例题，若选择点A或C，或B或P为坐标原点，问题也是能够解决的，只是在运算上更为复杂一些。例2已知△ABC中，∠ACB=，AC=BC，D为AC的中点，E为AB上一点，且AE=EB，试证BD⊥CE。分析：因为∠ABC是直角，则以点C为坐标原点，两直角边分别为x轴，y轴建立直角坐标系。第11页共11页yx

6、ABCDE图2证明：如图2，以点C为坐标原点，两直角边分别为x轴和y轴，建立直角坐标系设A（a，0），B（0，a），C（0，0）则D为，E为因此，，即此例也可以选择其它的点作为坐标原点，且问题也能解决，但运算就较为复杂一些。注：不是所有的平面几何问题用向量解决时都要先建立直角坐标系，比如题目中出现的平面图形不是上面说的规则图形时，又没有平分点等出现时，就可不必先建立直角坐标系，而是根据实际问题来求解，例如：例3证明；锐角三角形的三条高交于一点。如图3，已知AD、BE、CF分别是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点分析：要证明三条高线交于一点，可先设两条

7、高线交于一点，再利用向量的数积证明第三条高线也过此点即可。第11页共11页BCADEFG图3证明：如图3，设BE、CF交于点G，以下只需证明点G在AD上，用向量的垂直理论证明有关问题时，最关键的就是要用好，，等相关知识2.2运用向量的性质和运算解决平面几何问题将平面几何问题的条件和所求（翻译成）转化为向量后，问题的解决就转化为了向量问题的解决。第11页共11页平面几何中的问题常有求线段的长度，证明两线段相等、平行、垂直、相交时求夹角等。此时我们只需利用向量的相关概念及运算，就可将平面几何问题转化为求向量的模，证明两向量模的相等，两向量平行、垂直、求两向量的夹角等问

8、题来解决两