轴对称变换 要点全析

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1、轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图14-2-1中，（1）图是△ABC平移后得到△DEF，（2）图是△ABC翻折后得到△DBC，（3）图是△ABC旋转一个角（即∠BAD）后，得到△ADE，（4）图是△ABC先平移（BE），后翻折，得到△DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形

2、全等．2．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图14-2-2中，△DEF与△ABC成轴对称，同样得到△ABC的一系列对称图形△GHK、△PQR、△LMN等，并且△ABC≌△DEF≌△GHK≌△PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图14-2-2中，以△ABC与△DEF关于直线l对称为例说明如下：①△ABC与△DEF全等，只是图形的位置与方

3、向发生变化，而形状、大小没变．②点A、B、C分别与点D、E、F关于直线l对称．③线段AD、CF被直线l垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图14-2-3．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图14-2-5中的设计图：再如图14-2-6中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称

4、点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图14-2-7中，已知△ABC和直线l．作出△ABC关于直线l的对称图形．分析：在（1）图中，△ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线l的对称点，连接这三个对称点，就得△ABC关于直线l对称图形．作法：（1）图中，（1）过点A作直线l的垂线，垂足为G，在垂直

5、线上截取GA′＝GA．则点A′，就是点A关于直线l的对称点（因AA′被直线l垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、C关于直线l的对称点B′、C′．（3）连接A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．在（2）图中，作法同（1）图的作法，图形如（2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图14-2-8所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图14-2-9，在金水河的同一侧有两个村庄A、B．要从河边同一点修两条水渠到A、B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线M

6、N的同一侧有A、B两点．在直线MN上找一点P，使P点到A、B两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图14-2-9所示，作B点关于直线MN的对称点B′，连接AB′与MN相交于点P，则P点即为所求．事实上，如果不是P点而是P′点时，则连接AP′、P′B和P′B′．由轴对称性可知，P′B＝P′B′，PB＝PB′，所以P′到A、B的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋P′B′．而P到A、B的距离之和AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′，在△AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即AP′＋P′B′＞AB′．所以P点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型

7、的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称点的坐标为（－x，y）．如图14-2-10中，点P（2，3）关于x轴的对称点为P2（2，－3），关于y轴的对称点为P1，（－2，3）；点P2关于y轴的对