矩阵论简明教程习题答案

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1、习题一1.设为的任一特征值,则因为AO的特征值,故.即=0或2.2.A～B,C～D时,分别存在可逆矩阵P和Q,使得PAP=B,QCQ=D.令T=则T是可逆矩阵,且TT==3.设是对应于特征值的特征向量,则A=,用左乘得.即故是A的特征值,i=1,2,n.4.(1)可以.=,,.(2)不可以.(3),.5.(1)A的特征值是0,1,2.故=－(b－a)=0.从而b=a.又=将=1,2代入上式求得A=0.(2)P=.406.=,A有特征值2,2,－1.=2所对应的方程组(2I－A)x=0有解向量p=,p==－1所对应的方程组(I+A)x=0有解向

2、量p=令P=(ppp)=,则P=.于是有A=PP=.7．(1)==D(),I－A有2阶子式=－4－4不是D()的因子,所以D()=D()=1,A的初等因子为－1,.A的Jordan标准形为J=设A的相似变换矩阵为P=(p,p,p),则由AP=PJ得解出P=;(2)因为，故A～J=40设变换矩阵为P=(),则P=(3).A的不变因子是A～J=因为A可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量：当=－1时，解方程组求得两个线性无关的特征向量当=2时，解方程组得,P=(4)因～,故A～J=设变换矩阵为P=,则是线性方程组的解向量

3、，此方程仴的一般解形为p=取40,为求滿足方程的解向量,再取根据～由此可得s=t,从而向量的坐标应満足方程取,最后得P=.8.设f()=.A的最小多项式为,作带余除法得f()=(),+,于是f(A)==.9.A的最小多项式为,设f()=,则f()=+.于是[f(A)]=.由此求出[f(A)]=10.(1)I－A=标准形,A的最小多项式为;2);(3).11.将方程组写成矩阵形式:40,,,A=则有J=PAP=,.其中P=.令x=Py,将原方程组改写成:则解此方程组得:y=Ce+CTe,y=Ce,y=Ce.于是x=Py=.12.(1)A是实对称

4、矩阵.=,A有特征值10,2,2.当=10时.对应的齐次线性方程组(10I－A)x=0的系数矩阵～由此求出特征向量p=(－1,－2,2),单位化后得e=().当=1时,对应的齐次线性方程组(I－A)x=0的系数矩阵～由此求出特征向量p=(－2,1,0),p=(2,0,1).单位化后得e=(),e=().令40U=,则UAU=.(2)A是Hermit矩阵.同理可求出相似变换矩阵U=,UAU=.13.若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U,使得UAU=,﹥0,I=1,2,n.于是A=UU=UUUU令B=UU则A=B.反之

5、,当A=B且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit正定的.14.(1)(2).因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得40UAU=diag()令x=Uy,其中y=e.则x0.于是xAx=y(UAU)y=≧0(k=1,2,n).(2)(3).A=Udiag()U=Udiag()diag()U令P=diag()U,则A=PP.(3)(1).任取x0,有xAx=xPPx=≧0.习题二1.==7+,==,=max=4.2.当x0时,有﹥0;当x﹦0时,显然有=0.对任意C,有=.为证

6、明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式:设1≦p﹤∞,则对任意实数x,y(k=1,2,n)有≦证当p=1时，此不等式显然成立.下设p﹥1,则有≦对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式,并由(p－1)q=p,得≦=再用除上式两边,即得Minkowski不等式.现设任意y=()C,则有40=≦≦=.3.(1)函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A,B)=max(≦max()=≦==max()+max()(2)只证三角不等式.k+k≦k+k+k+k=(k+k)+(k+k).4.;;;

7、列和范数(最大列模和)=;=行和范数(最大行模和)=9;5.非负性:A≠O时SAS≠O,于是＞0.A=O时,显然=0;齐次性:设C,则=;三角不等式:≦;相容性:≦=.6.因为I≠O,所以＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:≦,即≧1.7.设A=(A)C,x=C,且A=,则40≦=≦nA=;≦==A≦nA=.5.非负性与齐次性是显然的,我们先证三角不等式和相容性成立.A=(a),B=(b)C,C=(c)C且A=,B=,C=.则=max{m,n}≦max{m,n}≦max{m,n}(A+B)=max{m,n}A+max{m,n}B=;=max{m

8、,l}≦max{m,n}≦max{m,n}(Minkowski不等式)=max{m,n}nAC≦max{m,n}max{n,l}AC=.下证与相应的向量范数的相容性