用法向量求二面角大小及其角度关系确定

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1、用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法

2、向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。θβαl图1一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有（图2）；2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）θβlαω

3、θβlα图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向yxzlOΧУ图41.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。βyxzlO图52.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。四．应用举例例题1.如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其方向。

4、解：以D为原点建立空间直角坐标系，则E(1，,0)、F(，1,0)、DABCA1B1C1D1GEFxyzG(1,0，)由此得:设平面的法向量为ñ由^及^可得图6令y=1取平面的一个法向量为评析因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量即可，再令其从原点出发，做出法向量如图所示，方向指向二面角G—EF—D的外部。例题2.如图7，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．O（A）BA1C1B1D1DCQzyx解如图，建立空间直角坐标系．依题意：A1（0，0，2），D（

5、0，4，0）．∴Q（2，2，0），D（0，4，0），∴半平面面AA1D的法向量图7设面A1DQ的法向量则∴令a1=1，则做出从原点出发的向量，如图所示，从图形得出，半平面AA1D的法向量的方向指向为二面角A—A1D—Q的里面，半平面A1DQ的法向量的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。即：cos=．∴二面角A—A1D—Q的大小为。评析（1）传统方法求二面角大小时需三个步骤：“找——证——求”，而用法向量求二面角大小时简化成了两步骤：“判断——计算”，这在一定程度上降低了学生解决立体几何问题的难度，也体现了各部分知识间的贯通性和灵活性，更加注重对学生创新能力

6、的培养，体现了教育改革的精神。（2）求出法向量此之后，在坐标系中令其从原点出发做出此法向量，然后判断其方向指向，即指向二面角A—A1D—Q的里面，又半平面A1DQ的法向量的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。从而，二面角的大小利用向量的数量积而求得。例题3.如图8，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS则S（0，0，），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（

7、，0，0），，图8显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)，设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则⊥平面SCD∴由图知，半平面SBA的法向量为=(1，0，0)的方向指向面SCD与面SBA所成的二面角的里面，半平面SCD的法向量指向面SCD与面SBA所成的二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等，由此得：cos=∴所求的二面角的余弦值为.若在：AzyxDCBS图9这时，两个半平面的法向量就都指向面SCD与面SBA所成的二面角的里面了，如图9，两个法