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1、矩阵论及应用课程辅导习题解答封面习题解答封面制作人刘慧罗发来研究生应用数学丛书前前言言此习题解答分两部分,第一部分(从第4页到第58页)为各章习题题目;第二部分(从第59页到第199页)为各章相应习题的解答.第三部分是工程例题.目录中建立有链接,当运行幻灯片时,若单击其中带有下划线的蓝色文字,幻灯片就会跳到相应章节的习题题目处.若单击习题题目前的题号链接,就会跳出相应习题的解答.左、右上角的动作按钮分别表示返回目录、跳到最后一页.左、右下角的动作按钮表示放映上一页、下一页.目录第1章线性空间与线性变换···········································(4)第
2、2章矩阵的相似及应用··············································(14)第3章范数理论及其应用··············································(24)第4章矩阵分析及矩阵函数··········································(30)第5章矩阵分解······························································(40)第6章广义逆矩阵········································
3、··················(48)第7章工程中矩阵应用实例········································(200)第一章第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.验证以下集合对指定运算是否构成线性空间.(1)全体实数的二元数列,对于如下定义的加法⊕和数°乘运算(,)(,)(ab⊕ab=+++aabbaa,)11221212122kk(1−)a1k°(,)(,ab11=+kakb11)2+(2)设R是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算:kaa=,k°aba⊕=b+其中abRkR,,∈∈.(3)平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合,对于向
4、量的加法和数与向量的乘法.(4)设A是n阶实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体对于矩阵的加法和数乘.2.求下列线性空间的维数和一个基.(1)全体n阶实上(下)三角矩阵形成的实数域上的线性空间.(2)全体n阶实对称(反对称)矩阵形成的实数域上的线性空间.(3)第1题(2)中的线性空间.3.3.(MATLAB)(MATLAB)Ax=0的解空间.⎛⎞21033−−其中A=⎜⎟⎝⎠−101544.如果ccc123α++=βγ0,并且cc13≠0.证明:L(,)(,)αββ=Lγ5.设VV,分别是齐次线性方程组xx+++=...x01212n与xx===...x的解空间,12n证明n.VVR⊕=12
5、6.在立体几何中,所有自原点引出的向量添上零向量构3成一个三维线性空间R.(1)问所有终点都在平面上的向量是否为子空间.(2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别构成三个子空间LLL123,,.问L12+LLLL,123++能构成哪些类型的子空间,试全部举出.7.(MATLAB)(MATLAB)求由下列向量α生成的子空间和由下列向i量β生成的子空间的交与和空间的基与维数.iTT⎧α=(1,2,1,0)⎧β=−(2,1,0,1)11(1)⎨T⎨T⎩α2=−(1,1,1,1)⎩β2=−(1,1,3,7)T⎧α=−(1,2,1,2)−T⎪1⎧β=−(2,5,6,5)−T1(2)⎨α=(3
6、,1,1,1)⎨T2(1,2,7,3)⎩β=−−⎪=−−T2α(1,0,1,1)⎩38.判断下面定义的变换哪些是线性的,哪些不是?(1)在线性空间V中,,其中Taα=α+aV∈是一个固定向量;322(2)在R中,;Txxx(,,)(,=+xxxx,)1231233(3)在实函数线性空间R[x]中,Tf(x)=f(x+1).3TT9.已知在R中线性变换T在下αα12=−(1,1,1),=(1,0,1)−Tα=(0,1,1)的矩阵为:3⎡101⎤A=⎢110⎥⎢−121⎥⎣⎦TTT求在基eee===(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵.12310.设S={ε1234,,,εεε}
7、是四维线性空间V的一个基,已知线性变换T在这个基下的矩阵为⎡1021⎤⎢−1213⎥A=⎢1255⎥⎢2212−−⎥⎣⎦*在基S={η,,,ηηη}下的矩阵,其中1234η=εεε−+21124η=3εεε−−2234η=+εε334η=2ε;44(1)T的核与值域;(2)在T的核中选一个基,把他扩充成V的基,并求出T在这个基下的矩阵;(3)在T的值域中选一个基,把他扩充成V的基,并求出T在这个基
