第六章 定积分及其应用

《第六章 定积分及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章定积分及其应用1．证明：设为上连续且非负，则的充要条件为在上恒为零，即。证明：充分性是显然的，以下证明必要性。法1：反证法。若存在为的某一连续点，且，则，使，从而有与已知矛盾。从而结论成立。法2：对一切的有从而，。那么即。2．利用定积分求极限：1）；2）。解：1）2）3．设在上为连续函数，为单调的连续可微函数。证明：存在，使得。证明：这是加强条件的积分第二中值定理，有一个不难的证明。设，，则有由假设为单调函数，故不变号，从而，使得4．设连续，，求。解：令，则所以。5．设连续，且，求。解：令，对两边积分有：所以。则。6．设在区间上可微，且满足条件。试证：

2、存在，使。证明：令，则存在，使又由在上连续，在内可导且，由Rolle定理可知：存在，使。即。7．设在区间上是连续且递增的函数，证明：。证明：法1：只要证令，，则。所以为递增的函数，因此。法2：由递增，所以。因此即法3：8．设在上单调减少且连续，证明：对，恒有不等式。证明：法1：令，则在上连续，在内可导，且，所以使由于在上单调减少且连续，则当时，，当时，；即是的最大值点；的最小值只能在端点取得，又，所以。命题得证。法2：。法3：其中，。又在上单调减少，则。故原命题得证。法4：故原命题得证。9．证明：。证明：左=右==左10．证明：（）。证明：左=，令，，则左=

3、又令，则有所以左右。11．设，求。解：法1：令，则，法2：即原式12．若函数在上有连续导数，且，证明：。证明：由，利用Cauchy-Schwarz不等式同理由，记，于是13．证明Cauchy-Schwarz不等式：若和都在上可积，则有证明：法1：对任意实数上式右端是的二次三项式，则其判别式非正，即故原式得证。法2：令，则。所以在上单调递增，即。14．（Young不等式）设（）是严格单调增加的连续函数，。是它的反函数，求证：（，）等号仅当时成立。证明：1先证成立。（2）由是严格单调增加的连续函数，故在也是严格单调增加的连续函数，故式（2）中的积分有意义。将等份

4、，记分点为相应的点（）构成区间的一个划分。由在连续，故一致连续，故当时，对上述划分有：故故式（2）得证。2由式（2）可知，若，则所要证的不等式中等号成立。3若，则由的连续性可知，存在，使，于是（）4若的情形，只要将看成的反函数，即可由3的结论得到。5联系2、3、4可知所要证明的不等式成立。当且仅当时等号成立。15．证明Minkowski不等式：若和都在上可积，则有其更一般的形式是（）。证明：又由Cauchy-Schwarz不等式得所以从而16．计算下列积分的值（1）（2）（3）解：（1）。（2）。（3）。17．设在上连续，在内有，证明存在唯一的使曲线与，所围

5、图形的面积是曲线与，所围图形的面积的三倍。证明：设对任意，则，令，。问题是要证明存在唯一的使。显然在上连续，且则存在使。又，即单增，故存在唯一的使。18．求摆线，的一拱（），与轴所围图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：本题用柱壳法求较易。故19．半径为、比重为的球沉入水中。试求把球提提出水面需作的功。分析：由于球的比重与水相同，处于悬浮状态，因此可设初始时刻球的顶部与水面相齐；而且把球从水中提出的作功问题，相当于把球形水罐中的水从顶部全部抽出的作功问题。只是这里在把球的每一薄片提升至水面时并不需要作功，需要克服重力作功的是将它继续提升至使整个球离开水面的那一

6、段距离。解：设球的顶与水面相切，以水平面为轴，以球的直径为轴，方向垂直相下建立直角坐标系。将球从水平面提升时，深度为的那一薄片（厚度为）从水面提升的距离为，则提升这一薄片需作功为则