二次函数图像和性质

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1、二次函数的图像和性质一.本周教学内容：二次函数的图像和性质 二、本周学习目标掌握二次函数的图像和性质，能够确定二次函数的表达式，并能够对图像进行分析 1.与之间关系，（） 2.顶点坐标                                  对称轴                            （0，0）                                  y轴                      （0，k）                                  y轴         

2、           （h，0）                                  直线x＝h             （h，k）                                  直线x＝h。 3.二次函数顶点坐标（，），对称轴是直线。 4.二次函数图象的画法。      （1）通过配方法，将一般式化为形式；      （2）确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；      （3）在对称轴两侧，以顶点为中心，左右两侧对称描点。 5.求二次函数解析式。      （1）一般式：      （2）顶点式

3、：      （3）交点式：，其中（，0），（，0）分别为抛物线与x轴的两个交点。      （4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。6.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结

4、论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则. 三、考点分析二次函数的图像和性质、确定二次函数的表达式、确定二次函数图像特征，这三点在中考考点中均是要求学生能够熟练掌握的内容。 【典型例题】例1.已知抛物线。      （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；      （2）求抛物线与轴、轴的交点坐标；      （3）画出函数图象（草图）；      （4）根据图象说出：x为何值时，y随x增大而增大？x为何值时y随x增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值是多少？      分析：通过配方或利用顶点坐标公式求出顶点坐

5、标和对称轴，再利用五点作图，并根据图象回答增减性及最值。      解：（1）配方：得      ∵       ∴抛物线开口向下      对称轴：         顶点坐标是（，2）      （2）令即，得，。∴它与x轴的交点坐标为（，0），（，0）再令即∴它与y轴交点坐标为（0，）（3）∵顶点A（，2），对称轴，与x轴交点为B（，0），C（，0）与y轴交点D（0，）。D关于对称轴的对称点E（，），将E、B、A、C、D这5点连接成光滑曲线，即得抛物线图象。（4）从图象可知，当时，随x增大而增大。当时，随x增大而减小。∵抛物线开口

6、向下，∴顶点A为最高点，函数有最大值即当时，＝2。点拨：（1）五点作图法是画二次函数图象的简易作图法，这五点是抛物线的五个特征点：即顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及该交点关于抛物线对称轴的对称点。（2）有时候函数与x轴没有交点，则选取作图点的时候要考虑抛物线的对称性，以对称轴为中心对称取点。 例2.已知抛物线y＝ax+bx+c的顶点是A(－1，4)且经过点(1，2)求其解析式。分析：此类题型可设顶点坐标为(m，k)，故解析式为y＝a(x－m)+k.在本题中可设y＝a(x+1)+4，再将点(1，2)代入求得a＝－∴y＝－即y＝－由

7、于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 例3.如图所示，二次函数的图像经过A、B、C三点。（1）观察图像，写出A、B、C三点的坐标，并求出函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴。分析：求函数解析式时，我们要注意考虑函数表达式的三种一般形式，并能够根据题目条件来选取合适的表达式来求解。顶点坐标和对称轴则可以用相应的公式来求解。解：（1）A（，0），B（3，0），C（0，），将三点坐标代入，得     解得∴二次函数的解析式为。（2）∵，，∴顶点坐标为，对称轴为直线。点拨：当给出抛物线y＝ax+

8、bx+c上的三点时，可采取列方程组，求出a、b、c的值，即可求出函数的解析式。对于本题来说，我们还可以发现A、B两点是图像与x轴的交点，本题也可以采用交点式来求解，而且解法要比一般式要简单。 【模拟试题】（答题时间：30