用比较法证明不等式教案1

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1、用比较法证明不等式教案1　　教学目标　　1．理解，掌握比较法证明不等式．　　2．培养渗透转化、分类讨论等数学思想，提高分析、解决问题能力．　　3．锻炼学生的思维品质(思维的严谨性、灵活性、深刻性)．　　教学重点与难点　　求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．　　教学过程设计　　(一)不等式证明的含义　　师：前面我们已经学习了不等式性质．今天我们要以这些性质作为依据研究不等式证明．　　什么是不等式证明呢？　　(板书)1．什么是不等式证明　　我们通过具体题说明．　　例1求证：(2x＋1)(3x－2)＞(5x＋9)(x－

2、2)，　　这道题含义是什么？　　(学生迟疑，教师给以启发)　　师：同学们可以想一想恒等式证明的含义．　　生：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立．　　(二)引入比较法证明不等式，理解、认识比较法　　师：很好，那么如何证明这个不等式呢？　　(让学生稍作思考)　　生：求差．　　(学生口述，教师板书)　　证明：由于(2x＋1)(3x－2)－(5x＋9)(x－2)　　=(6x2－x－2)－(5x2－x－18)　　=x2＋16≥16＞0，　　则(2x－1)(3x－2)＞(5x＋9)(x－2)．　　师：怎么想到“求差”的呢？　　生：以前比较两个实数大小时曾经用过这种方法．　　(学生回答

3、虽较为肤浅，但教师仍应鼓励并进一步引导学生思考)　　师：在这里用“求差”有什么好处？　　(学生思考片刻回答)　　生：直接证这个不等式有困难，转化为一个一般式子与0比大小比较容易证明．　　师：是的，在这里，通过“求差”将不等问题转化为恒等问题；将二个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．　　这种证明的依据又是什么呢？　　　　　　式常用方种中的一种，叫比较法，这种比较法不妨称作求差比较法．　　(板书)2．不等式证明的常用方法(1)比较法(求差比较法)　　(三)在求差比较法中，求差后对“差式”适当变形并判断符号的方法　　师：下面我们将通过例题来归纳、总结求差比较

4、法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．　　例2求证：x2＋3＞3x．　　(学生口述解题过程，教师板书)　　　　所以x2＋3＞3x．　　师：求差后，进行等价变形时用的什么方法？　　生：配方法．　　师：为什么用配方法？　　生：因为求差后，式子中－3x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断．　　师：也就是说变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是配方法．　　例3已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b3＋a2b3．　　师：这道题含义是什么？　　生：对于a，b属于任意正实数，不等式都成立．　　师：请同学们考

5、虑如何用比较法证明．　　(学生口述，教师板书)　　证明：a5＋b5－a3b2－a2b3=(a5－a3b2)－(a2b3－b5)=a3(a2－b2)－b3(a2－b2)　　=(a2－b2)(a3－b3)=(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)　　由于a，b∈R＋，则a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，(a－b)2≥0，　　所以(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)≥0，即(a5＋b5)(a3b2＋a2b3)≥0．　　因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．　　师：这道题是用什么方法对差式进行等价变形．　　生：对差式进行因式分解．　　师：这样变形的目的是什么？　　生：将差式因式分

6、解变形为几个因式积的形式，对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．　　师：说得很好，变形的目的是能判断差式符号，这道题采用的是因式分解的方法，在判断符号时要注意表述严谨、周密，正确判断a，b∈R＋范围内每个因式符号．　　　　师：这道题含义是什么？　　生：对任意实数x，不等式都成立．　　(此时有的学生有异议)　　生：我觉得应该考虑左式分式有意义的条件．　　师：左式分式有意义的条件是什么？　　生：x∈R．　　师：对．这道题忽视分式有意义的条件是不对的．只不过在这道题中条件就是x∈R，所以这道题的是对任意实数x，不等式都成立．请证明这道题．　　(学生

7、口述，教师板书)　　　　　　师：这道题又是如何变形的呢？　　生：这道题求差后，先通分，然后将分子配方，最后判断符号．　　师：通过以上例题，用比较法证明不等式可以归纳为哪些步骤．　　生：有三步：(1)求差；(2)变形；(3)判断符号．　　师：在这些步骤中哪一步最重要．　　生：我认为变形最重要．　　师：为什么？　　生：因为变形适当才能判断差式符号．　　师：怎么就叫“变形适当”？　　生：通过变形将差式化为容易判断符号的式子．　　师：对．求差后，把所得差式进行合理变形，化为容易判断符号的