数学分析(第8.3节有理函数和可化为有理函数的不定积分)

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1、第8章不定积分不定积分概念与基本积分公式换元积分法与分部积分法有理函数和可化为有理函数的不定积分第8.3节有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的不定积分三角函数有理式的不定积分某些无理根式的不定积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数.定义一、有理函数的不定积分1.预备知识为有理真分式；为有理假分式.有关结论(1)任何一个假分式都可化为一个多项式与一个真分式之和(利用多项式除法)例如(2)在实数范围内,任何一个多项式均可分解为一次因式与二次质因式的乘积.分母中若有因子(3)真分式总可以唯一地分解为部分分式(最简真分式)之和.分母中若有因子分解式中含有因子分解式中含有因

2、子例如待定系数可以通过如下方式确定：(i)去分母,比较同次幂的系数；(ii)给x以特定值.如2.解题步骤第1步若是假分式,则化为多项式与真分式之和.⑤②③④①第2步把分母分解为一次因式与二次质因式的乘积.第3步把真分式分解为部分分式之和.第4步求多项式及各部分分式的积分，并求和.*问题归结为求以下五种类型的不定积分：③①②③解决是容易的,如而④⑤要复杂些,要作适当的换元：④⑤同理，有解得例1解例2解例3解例4解而由于由递推公式，得于是定义由三角函数及常数经有限次四则运算构成的函数，称为三角函数有理式.二、三角函数有理式的不定积分从而例4解解(2)方法2方法1方法3注例5解三、

3、某些无理根式的不定积分做法利用代换化为有理函数的积分式类型解例6求积分例7解练习解型不定积分时也可直接化为有理函数的不定积分.可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有把它们转化为三角函数有理式的不定积分.方法2(欧拉变换)例8解用方法1（a=1>0）用方法2因此注1对于本题来说,方法2显然比方法1简捷.但实质上只相差某一常数而已.注2由以上两种方法所得的结果,形式虽不相同注3虽然初等函数在定义区间都存在原函数,但都无法用初等函数来表示,因此都不可能用我们介绍的方法把它们的原函数求出来.例如并非初等函数的原函数都能用初等函数表示.例9解注意到a=1>0，从而有练习提示练习求

4、积分解令