3有理函数和可化为有理函数的不定积分

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1、§3有理函数和可化为有理函数的不定积分教学目的：掌握有理函数、三角函数及简单无理函数化有理函数积分的方法。重点难点：重点与难点为有理函数的分解。教学方法：讲练结合。至此我们已经学得了一些最基本的积分方法．在此基础上，本节将讨论某些特殊类型的不定积分，这些不定积分无论怎样复杂，原则上都可按一定的步骤把它求出来．一有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为，　　　(1)其中，为非负整数，与都是常数，且，．若，则称它为真分式；若，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分

2、式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母在实系数内作标准分解：，（2）其中均为自然数，而且第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式，它所对应的部分分式是对每个形如的因式，它所对应的部分分式是把所有部分分式加起来，使之等于．(至此，部分分式中的常数系数尚为待定的.)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母第八章第三节第9页，而其分

3、子亦应与原分子恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1对作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：部分分式分解的待定形式为（3）用乘上式两边，得一恒等式++然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：求出它的解：，并代人(3)式，这便完成了的部分分式分解：上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将的某些特定值(如的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用和代人(4)式，立即求得于是（4）式简化成为第八章第三节第9页为继续求得，还可用的三个简单值代人上式，如令，相应

4、得到由此易得．这就同样确定了所有待定系数．一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：；　　　．对于，已知对于，只要作适当换元(令)，便化为　（5）其中．当时，（5）式右边两个不定积分分别为，（6）当时，（5）式右边第一个不定积分为.对于第二个不定积分，记第八章第三节第9页可用分部积分法导出递推公式如下：经整理得到（7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算，这已由(6)式给出.把所有这些局部结果代回(5)式，并令，就完成了对不定积分（II）的计算．例2求解在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此

5、，部分分式分解能被简化为现分别计算部分分式的不定积分如下：第八章第三节第9页由递推公式（7）,求得其中于是得到下面再介绍几类被积函数能变换为有理数的不定积分。二三角函数有理式的不定积分由、及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于、的有理式，并用表示。是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为（8）(9)(10)所以．例3求解令，将(8)、(9)、(10)代人被积表达式，第八章第三节第9页注意上面所用的变换对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的．例4求解由于,故令,就有通常当被积函数是，及的有理式时，采用变换

6、往往较为简便．其它特殊情形可因题而异，选择合适的变换．三某些无理根式的不定积分1.型不定积分．对此只需令，就可化为有理函数的不定积分．例5求.解令则有第八章第三节第9页例6求解由于，故令，则有2．型不定积分(时，时）．由于，若记，则此二次三项式必属于以下三种情形之一：.因此上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一：当分别令后，它们都化为三角有理式的不定积分．例7求．第八章第三节第9页解［解法一］按上述一般步骤，求得　　　　由于　　　　　　　因此．[解法二]若令，则可解出于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：　　　　　　　第八章第三节第9页注1可以证明．所以两种解法所得结

7、果是一致的．此外，上述结果对同样成立．注2相比之下,解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理形式(而解法一通过三次换元才化为有理形式).如果改令,若，还可令这类变换称为欧拉变换.至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的求法．需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来．在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的．例如等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示(