复变函数第4讲.ppt

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1、本章主要内容：解析的概念，解析函数的判别，五类基本初等函数复变函数的主要研究对象是解析函数，因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数，另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，二者皆构成复变的解析函数。第二章解析函数§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数1)导数概念：导数的几种表达方式若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导；若函数在区域D内每一点处都可导，则称其在区域D上可导，其结果与实函数结果一样。注:与实函数的导数定义类似,复变

2、函数的导数定义也有相应的语言描述，这里省略。2）可导与连续之间的关系容易看出,此极限不存在,即该函数处处不可导。与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立。处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函数中极易获得，然而在实函数中要想得到一个处处连续但处处不可导的函数却很不容易。可导必连续的证明，在形式上与一元实函数相关结论的证明完全相同。由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：3）求导法则（5）反函数的导数，其中w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.这样，我们知道多项式处处可导

3、.例如，另外，有理分式在分母不为零的点处可导.思考题结论：例如事实上2.解析函数的概念不解析的点称为奇点。注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：定理：若函数在区域D内可导，则D内定解析。即在区域上，可导与解析是等价的。（为什么？）即不可能存在离散的、孤立的解析点。例：研究下列函数的解析性5）有理分式，定义域内解析，原因同上。注：由求导法则，不难看出：解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的复合函数仍是解析函数。§2.2函数可导与解析的条件当一个复函数用其实部和虚部表示

4、时,本节介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系.举例尝试容易求得观察、寻找联系后发现有究竟是偶然的现象还是必然的规律？？定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；ii)验证C-R条件.注：可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在

5、D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Rieman方程例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：例2证明小结1、导数的概念，复变函数求导法则.2、解析的概念，解析与可导的关系.3、判别复变函数解析性的有效方法：柯西—黎曼定理.f(z)在区域D内可导f(z)在区域D内解析f(z)在z0点解析f(z)在z0点可导f(z)在z0点连续练习：1、判别真、假：2、证明罗比达法则：提示：