复变函数第16讲.ppt

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1、5.2解析函数的孤立奇点1、孤立奇点的分类及性质2、施瓦兹引理3、皮卡定理1§1孤立奇点1、孤立奇点的定义定义1.)(,0,)(0000的孤立奇点为则称内解析的某个去心邻域但在处不解析在若zfzzzzzzfd<-<例如孤立奇点2奇点未必是孤立的.若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.2、孤立奇点的分类注32.1可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即特点?“可去”一词的解释?42.2极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即特点?52.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,特点?63、函数在孤立奇点的性质若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件

2、等价：性质1（可去奇点的判定定理）证：只须证显然由极限定义即可7其中由于8性质2（m级极点的特征）若为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：证：去心邻域9则例如：为f(z)的一个4级极点，为f(z)的单极点.10注意：在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论.例如利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的单极点，可去奇点，2级极点.性质3若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是在判断函数的极点时，请比较性质2和性质3.11性质5分析例如，15性质6（极点的运算性质）13性质7z0为f(z)的本性奇点注：在求复变函数的极限

3、时，也有同实函数类似的罗必塔法则.由性质1和性质3，得14定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为的本性奇点.证（反证法）①若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设②若z=a为(z)的极点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的可去奇点a为f(z)的极点矛盾！答：16性质8(Weierstrass)定理例如：本性奇点17点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证否则,a必为f(z)

4、的可去奇点..这样,由定理5.7,函数在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇由此推出因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A证(1)在A＝∞的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.(2)现在设定理5.9(毕卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).席瓦尔兹(Schwarz)引理如果函数f(z)在单位圆

5、z

6、<1内解析,并且满足条件f(0)=0,

7、f(z)

8、<1(

9、z

10、<

11、1),则在单位圆

12、z

13、<1内恒有

14、f(z)

15、≤

16、z

17、,且有

18、f/(0)

19、≤1.5.2.4Schwarz引理如果上式等号成立,或在圆

20、z

21、<1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.证设让r1即得于是,且当时,有即如果这些关系中,有一个取等号,这就意味着在单位圆

22、z

23、<1内某一点z0,模数达到最大值,这只有时才可能.此即本讲小结：23