一元二次方程重点难点习题集

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1、例1】2010，西城，一模已知：关于的方程．⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）∴当，原方程有实数根.当时，原方程为关于的一元二次方程，∵.∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.（2010年广东省广州市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。【关键词】分式化简

2、，一元二次方程根的判别式【答案】解：∵有两个相等的实数根，∴⊿＝，即．∵∵，∴1.(2010年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？【答案】（1）∵30000÷

3、5000＝6,∴能租出24间.（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，2x2－11x＋5＝0，∴x＝5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.2010年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月份的12600元/⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由。【关键

4、词】一元二次方程的应用【答案】（1）解：设4、5月份平均每月降价的百分率为x，根据题意得化简得解得因此4、5月份平均每月降价的百分率为5%。（2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2(2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）（2）求201

5、0年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为，根据题意，得：∴，∴，∴，（不合题意，舍去）．答：全市国民生产总值的年平均增长率约为10%．(2)1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.6≈5138(亿)答：2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元【例2】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）（2）（3）略解：（1）

6、＝＝（2）＝＝（3）原式＝＝＝【例3】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。分析：有实数根，则△≥0，且，联立解得的值。略解：依题意有：由①②③解得：或，又由④可知≥∴舍去，故探索与创新：【问题一】已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。略解：由≥0得≤。，≥0∴与可能同号，分两种情况讨论：（1）若＞0，＞0，则，解得＜1且≠0∴≤且≠0（2）若＜0，＜0，则，解得＞1与≤相矛盾综上所述

7、：当≤且≠0时，方程的两根同号。【问题二】已知、是一元二次方程的两个实数根。（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（2）求使的值为整数的实数的整数值。略解：（1）由≠0和△≥0＜0∵，∴∴，而＜0∴不存在。（2）＝＝，要使的值为整数，而为整数，只能取±1、±2、±4，又＜0∴存在整数的值为－2、－3、－512.（2011南充市中考）18.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k

8、的值。12..解：∵（1）方程有实数根∴⊿=22-4（k+1）≥0………………(2分）解得k≤0K的取值范围是k≤0……………………………………………………….…(4分)（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1x2=k+1…………（5分）x1+x2-x1x2=-2,+k+1由已知，得-2,+k+1＜-1解得k＞-2……………………….（6分）又由（1）k≤0∴-2＜k≤0……………………….（7分）∵k为整数∴k的值为-1和0………