高中数学函数知识点详细

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1、第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：=，∈A．其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{

2、∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数的自变量的取值范围。（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意

3、义的实数的全体构成的集合。（3）确定函数定义域的常见方法：①若是整式，则定义域为全体实数②若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数的定义域。③若是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1．求函数的定义域。例2．求函数的定义域。④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数的定义域为[0,1]求的定义域已知函数的定义域为[0,1）求的定义域3、值域:

4、（1）值域的定义：与相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例：求函数的值域。解：∵，∴，∴函数的值域为。②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数（）的值域。解：，∵，∴，∴∴，∴∴函数（）的值域为。③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函

5、数的值域。解：∵，∵，∴，∴函数的值域为。④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。例：求函数的值域。解：令（），则，∴∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。⑤判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，∵，∴，解得，又，∴∴函数的值域为值域为练习：求函数的值域4、函数的表示方法（1）解析法、列表法、图象法（2）求函数解析式的常见方法：①换元

6、法例：已知,求的解析式.例：若,求.例：已知求.②解方程组法例：设函数满足+2f（）=（≠0），求函数解析式.一变：若是定义在R上的函数，，并且对于任意实数，总有求。（令x=0，y=2x）③待定系数法例：已知是一次函数，并且求解：设，则则，解得或故所求一次函数解析式或④配变量法例：已知,求的解析式.例：若,求.⑤特殊值代入法（取特殊值法）例：若,且，求值.例：设是上的函数，且满足并且对任意实数有求的表达式解：设则即或设则⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.例：对∈R,满足,且当∈[－1,0]时,求当∈[9,10]时的表达式.解析：，则则，T=25、分段函数(1)定义：在

7、函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数如果则称为、的复合函数。7、函数图象问题（1）熟悉各种基本初等函数的图象如：，，，，，（2）图象变换平移：对称：翻折：注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法***********************************课堂习题*********************************1.求下列函数的定

8、义域：⑴⑵2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__3.若函数的定义域为，则函数的定义域是4.函数，若，则=5.求下列函数的值域：⑴⑵(3)(4)二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增减函数和单调区间设函数的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数.区间D称为的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.区间D称为的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数