系统建模与仿真-第2次课--第2章

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1、1第二章经典建模方法数学模型有着十分广泛的应用，无论是在纯科学领域还是在工程技术上都获得了巨大的收益。首先。它帮助人们不断地加深对现象的认识，并且启发人们去进行可以获得满意结果的试验。本章讨论经典的系统数学建模原理与方法。内容包括：系统数学建模方法学、常见数学模型的表达形式、动态过程及系统的机理建模、试验建模以及最小二乘法建模等。概述22.1系统数学建模方法学2.1.1系统方法学概述为了建立一个真实过程的有界的数学模型，存在着一些不能很明确分割的技术。过去，构成一个数学表示是为了给已经掌握了一些有用的特殊技术的某一领域的专家提供一种手段。从这个观点出发，如果建模者能做到以下几点，那

2、么他理应能获得成功。a)他已经对由他研究的那个过程有了较好的了解与经验；b)他从“容易”的目标出发，已经对类似过程的建模具备了一些技能；c)他对所要研究的特殊问题具有所需要的直觉与独立性。32.1.2建模过程的信息源可以认为建模活动本身是一个连续的、永无止境的活动集合。然而，由于以下事实产生了一些限制:即在一个给定的时间点，建模过程采取一个“建模计划”的形式，在开销与时间的限制条件下，科学工作在进行时要考虑一组研究对象、资金与人力等。在系统设计时，分析者将利用他们的技能及“沟通”不同资源的信息技术，直到获得一个满意的结果。数学建模信息源可以用图2.1表示。它有三类主要的信息源。2.

3、1系统数学建模方法学4图2.1数学建模的信息源1．目标和目的2．先验知识3．试验数据52.1.3建立数学模型的基本方法演绎法建模归纳法建模实用的建模选用先验知识，根据某些假设和原理，通过数学逻辑的演绎来建立模型。从一般到特殊的过程。从被观测到的行为出发，试图推导出一个与观测结果相一致的更高一级的知识。从特殊到一般的过程。（理论分析法、机理建模法）（测试法、系统辨识）优点：不需深入了解系统的机理缺点：必须获取大量输入输出系统信息。工程观点，直通目标，局限性强！2.1系统数学建模方法学6单纯采用上述这些途径都很难获得有效的结果，所以通常是混合采用这些方法。至于怎样才算是一个“好”的混合

4、是一个关键问题。由于要获得一个满意模型的道路并不是笔直的，特别是在建模阶段，它会受模型建立者的主观意志的影响，所以建立的模型必须进行反复的检验，以确保其可信性。所谓可信性检验就是对数学描述的真理程序的研究。2.1系统数学建模方法学2.1.3建立数学模型的基本方法72.1.4模型可信度可信性本身是一个十分复杂的问题，它一方面取决于模型的种类，另一方面又取决于模型的构造过程。模型本身可通过试验在不同的水平上建立，所以我们可以区别不同的可信度水平。一个模型的可信性可以根据获得它的困难程度分为：（1）在行为水平上的可信性，即模型是否能复现真实系统的行为；（2）在状态结构水平上的可信性，即模

5、型能否与真实系统在状态上互相对应。通过这样的模型可以对未来的行为作唯一的预测；（3）在分解结构水平上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是唯一的表示出来。2.1系统数学建模方法学8不论研究的是哪一个可信性水平，可信性的考虑在整个建模阶段以及以后各个阶段是恰当的，人们必须考虑以下几点：（1）在演绎中的可信性：演绎分析应在一个逻辑上正确、数学上严格的含义上进行。数学表示的可信性将取决于先验知识的可信性。可信性能从两个途径来进行分析，即通过对前提的正确性的研究来验证模型本身是否可信；通过对前提的其它结果的检验来分析信息以及由此可得到的模型的可信性。（2）在归纳中的可信性

6、：首先可以检验归纳程序是否按照数学上和逻辑上正确的途径进行。所以进一步的可信性分析都归结为模型行为与真实系统行为之间的比较。2.1.4模型可信度2.1系统数学建模方法学9（3）在目的方面的可信性：从实践的观点出发，假如运用一个模型能达到预期的目标，那么这个模型就是成功的、可信的。一个模型只有在它用于原定的目标时，它才真正的发出光来。2.1.4模型可信度2.1系统数学建模方法学（2）在归纳中的可信性：首先可以检验归纳程序是否按照数学上和逻辑上正确的途径进行。所以进一步的可信性分析都归结为模型行为与真实系统行为之间的比较。10图2.2建模过程总框图2.1系统数学建模方法学2.1.5建模

7、过程112.2数学模型的表达形式将一个模型描述看作是与真实世界中的物体或过程相联系的信息进行凝缩后的结果，从这个角度来看，建模不外乎是用一个适当的形式来凝集和浓缩信息。而选择不同的模型形式就对应有特殊的建模技术。2.2.1差分方程和微分方程的模型形式动力学系统的常规数学模型形式是众所周知的非线性连续状态空间模型，其常微分方程组形式为（2.1）（2.3）（2.2）其中：X-----n维状态矢量；u-----m维输入；p-----np维未知常数；y-----p维输出矢量1