复变函数与积分变换习题解答

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1、复变函数与积分变换习题解答练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。35复变函数与积分变换习题解答（1）；解：=（2）解：35复变函数与积分变换习题解答2．将下列复数写成三角表示式。35复变函数与积分变换习题解答1）解：（2）解：35复变函数与积分变换习题解答3．利用复数的三角表示计算下列各式。（1）解：（2）35复变函数与积分变换习题解答解：z3z2z1+z204．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。证：因所以都在圆周又因=0则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的张角是

2、，同理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与，与之间的张角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。5．解方程6．试证：当时，则。35复变函数与积分变换习题解答证：7．设是Z的辐角），求证证：则当时故当时，同理可证。*8.思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？答：否，是模为零，辐角无定义的复数。35复变函数与积分变换习题解答练习二0iy1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1）解：设则则点Z的轨迹为：（2），其中为实数常数；解：设则：y则：0b若：则轨迹为

3、：若：则轨迹：若：则无意义（3），其中为复数为实常数。解：由题设可知：即：若：，则Z的轨迹为一点-，35复变函数与积分变换习题解答0y(1,1)(-1,-4)若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为若：，无意义2．用复参数方程表示曲线，连接与直线段。解：则3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。0y（1）解：由，得又，得有界，单连域0xy-11（2）解：令由即：无界，单连域35复变函数与积分变换习题解答y（3）3/5x解：令则：无界，多连域v4．对于函数，描出当在区域内

4、变化时，的变化范围。解：令则0u则的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴5.试证不存在。证：=令则：上述极限为不确定，因而极限不存在。*6.思考题（1）怎样理解复变函数？答：设就是即因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。（2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关系？35复变函数与积分变换习题解答答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的

5、情形是类似的，只是一元实函数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。35复变函数与积分变换习题解答练习三1．用导数定义，求的导数。解：当时，导数不存在，当时，导数为0。2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）解：当且仅当时，满足条件，故当时可导，但在复平面不解析。（2）解：令则因在复平面上处处满足条件，且偏导数连续，故可导且解析。3．设为解析函数，试确定的值。解：由条件可知：所以35复变函数与积分变换习题解答又所以即4.设在区域内解析，试证明在内下列条件是彼此等价的。（1）=常数；（2）；（

6、3）常数（2）常数；（5）解析；（6）常数。证:由于在且域内解析，则可得方程成立，即且1）→2）由则在内成立，故（2）显然成立，2）→3）由是常数即常数3）→4）常数由条件是常数常数4）→5）若因在内解析即一阶偏导连续且满足条件在内解析。5）→6）因解析，则由条件，对在内解析，35复变函数与积分变换习题解答为常数6）→1）常数=常数，令分别对求偏导数得若则，因而得证若，则，故常数，由条件为常数常数*5.思考题：（1）复变函数在一点可导与在解析有什么区别？答：在解析则必在可导，反之不对。这是因为在解析，不但要求在可导，而且要求在的某个邻域

7、内可导，因此，在解析比在可导的要求高得多，如在=0处可导，但在处不解析。（2）函数在区域D内解析与在区域D内可导有无区别？答：无，（两者等价）。（3）用条件判断解析时应注意些什么？答：是否可微。（4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。答：一是定义。二是充要条件。三是可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数。35复变函数与积分变换习题解答练习四1．由下列条件求解析函数：（1）解：由解析可知：而则所以由可知（2）解：因由解析可知：即2．设，求的值使v为调和函数，并求出解析函数。解：要使为调和函数，有：，即：时，为调

8、和函数，要使解析，则35复变函数与积分变换习题解答即：3．如果为解析函数，试证是的共轭调和函数。证：因解析，有：所以，均为调和函数，且亦为调和函数故是v的共轭调和函数4．如果是一解函数，试证：也是解析函数。