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《复变函数与-积分变换习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、
2、练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
3、（1）；解：=（2）解：
4、2．将下列复数写成三角表示式。
5、1）解：（2）解：
6、3．利用复数的三角表示计算下列各式。（1）解：（2）
7、解：z3z2z1+z204．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。证：因所以都在圆周又因=0则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的张角是，同理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与，与之间的张角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。5．解方程6．试证：当时，则。
8、证：7．设是Z的辐角
9、），求证证：则当时故当时，同理可证。*8.思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？答：否，是模为零，辐角无定义的复数。
10、练习二0iy1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1）解：设则则点Z的轨迹为：（2），其中为实数常数；解：设则：y则：0b若：则轨迹为：若：则轨迹：若：则无意义（3），其中为复数为实常数。解：由题设可知：即：若：，则Z的轨迹为一点-，
11、0y(1,1)(-1,-4)若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为若：，无意义2．用复
12、参数方程表示曲线，连接与直线段。解：则3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。0y（1）解：由，得又，得有界，单连域0xy-11（2）解：令由即：无界，单连域
13、y（3）3/5x解：令则：无界，多连域v4．对于函数，描出当在区域内变化时，的变化范围。解：令则0u则的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴5.试证不存在。证：=令则：上述极限为不确定，因而极限不存在。*6.思考题（1）怎样理解复变函数？答：设就是即因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几
14、何意义上来说，复变函数可以看作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。（2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关系？
15、答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。练习三
16、1．用导数定义，求的导数。解：当时，导数不存在，当时，导数为0。2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）解：当且仅当时
17、，满足条件，故当时可导，但在复平面不解析。（2）解：令则因在复平面上处处满足条件，且偏导数连续，故可导且解析。3．设为解析函数，试确定的值。解：由条件可知：所以又所以
18、即4.设在区域内解析，试证明在内下列条件是彼此等价的。（1）=常数；（2）；（3）常数（2）常数；（5）解析；（6）常数。证:由于在且域内解析，则可得方程成立，即且1）→2）由则在内成立，故（2）显然成立，2）→3）由是常数即常数3）→4）常数由条件是常数常数4）→5）若因在内解析即一阶偏导连续且满足条件在内解析。5）→6）因解析，则由条件，对在内解析，
19、
20、为常数6）→1）常数=常数，令分别对求偏导数得若则，因而得证若，则，故常数，由条件为常数常数*5.思考题：（1）复变函数在一点可导与在解析有什么区别？答：在解析则必在可导，反之不对。这是因为在解析，不但要求在可导，而且要求在的某个邻域内可导，因此，在解析比在可导的要求高得多，如在=0处可导，但在处不解析。（2）函数在区域D内解析与在区域D内可导有无区别？答：无，（两者等价）。（3）用条件判断解析时应注意些什么？答：是否可微。（4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。答：一是定义。二是充要条件。三是可导（解析）函数
21、的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数。练习四
22、1．由下列条件求解析函数：（1）解：由解析可知：而则所以由可知（2）解：因由解析可知：即2．设，求的值使v为调和函数，并求出解析函数。解：要使为调和函数，有：，即：时，为调和函数，要使解析，则
23、即：3．如果为解析函数，试证是的共轭调和函数。证：因解析，有：所以，均为调和函数，且亦为调和函数故是v的共轭调和函数4．如果是一解函数，试证：也是解析函数。证：因解析，则且均可微，从而也可微。而可知：即满足条件也是解析函数。5．试解方程：（1）解：
24、（2）解：由题设可知：6．求下列
25、各式的值：
26、（1）解：（2）解：
27、（3）解：*7.思考题（1）为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当取实数时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变，但不能保持所有的性质不变。复变指数函数
