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《复变函数与积分变换习题二解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题二解答1．利用导数定义推出：nn−1⎛⎞111)(zn)'==zn,(是正整数；)2）⎜⎟'−。2⎝⎠zznnnn()zzz+∆−−122n−−n1n−1证1）()'limzn==lim(z+Cz∆z+?∆z)=nzn∆→zz00∆z∆→11−⎛⎞11zzz+∆12）⎜⎟'l==im−=lim−2⎝⎠zzz∆→zz00∆+∆→()z∆zz2．下列函数何处可导？何处解析？233（1）f()z=x−iy（2）f()2zxy=+3i22（3）f()z=xy+ixy（4）f()sinchicosshzx=yx
2、+y∂u∂u∂v∂v解（1）由于=2x,=0,=0,=−1∂x∂y∂x∂y1在z平面上处处连续，且当且仅当x=−时，u,v才满足C-R条件，故f()z=u+iv=x−iy仅在21直线x=−上可导，在z平面上处处不解析。2∂u2∂u∂v∂v2（2）由于=6x，=0，=0，=9y∂x∂y∂x∂y22在z平面上处处连续，且当且仅当23,230xyxy=即±=时，u,v才满足C-R条件，故33f()zuvxy=+=+i23i仅在直线230xy±=上可导，在z平面上处处不解析。∂u2∂u∂v∂v2（3）由于=y，=
3、2xy，=2xy，=x∂x∂y∂x∂y22在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故f(z)=xy+ixy仅在点z=0处可导，在z平面处处不解析。∂u∂u∂v∂v（4）由于=coschxy，=sinshxy，=−sinshxy，=coschxy∂x∂y∂x∂y在z平面上处处连续，且在整个复平面u,v才满足C-R条件，故f()sinchicosshzx=yx+y在z平面处处可导，在z平面处处不解析。3．指出下列函数f()z的解析性区域，并求出其导数。531）(1z−)；（2）zz+2
4、i；1azb+3）；（4）(,cd中至少有一个不为0)2z−1czd+4解（1）由于fz′()=−5(z1)，故f(z)在z平面上处处解析。2（2）由于f′()z=3z+2i，知f()z在z平面上处处解析。−2z2z（3）由于f′()z==−()22z−12z+12z−1()()知f()z在除去点z=±1外的z平面上处处可导。处处解析，z=±1是f(z)的奇点。1ad−bc（4）由于fz′()=，知f(z)在除去zdc=−≠/(0)c外在复平面上处处解析。2()czd+5．复变函数的可导性与解析性有什么不
5、同？判断函数的解析性有那些方法？答：f()z在D（区域）内解析f()z在D内可导f()z在z解析f()z在z可导00f()z在z连续0判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在z是否解析，只0要判定它在z及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D内是否解析，只要判定它在D内是否0可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2中的定理二。6．判断下述命题的真假，并举例说明。（1）如果f()z在z点连续，那么f′(z)存在。00（2）如果f′()z存在，那么f()z在z点解析。00（3）如果
6、z是f()z的奇点，那么f(z)在z不可导。00（4）如果z是f()z和gz()的一个奇点，那么z也是f(zgz)+()和f(zgz)/()的奇点。00（5）如果uxy(,)和vxy(,)可导（指偏导数存在），那么f()zuv=+i亦可导。（6）设f()zuv=+i在区域内是解析的。如果u是实常数，那么f()z在整个D内是常数；如果v是实常数，那么f()z在整个D内是常数；解222（1）命题假。如函数f()z=
7、z
8、=x+y在z平面上处处连续，除了点z=0外处处不可导。2（2）命题假，如函数f()z=
9、z
10、
11、在点z=0处可导，却在点z=0处不解析。（3）命题假，如果fzz()在点不解析，则称为zfz()的奇点。如上例。00（4）命题假，如f()sinch,()icosshzx==ygzxy，z=(/2,0)π为它们的奇点，但不是f()zgz+()的奇点。2（5）命题假。如函数f()z=zRez=x+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，故f()z仅在点z=0处可导。（6）命题真。由u是实常数，根据C-R方程知v也是实常数，故f()z在整个D内是常数；后面同理可得。7．如果f()z=u+iv是z的解析函数，证明
12、：22⎛∂⎞⎛∂⎞2⎜
13、f()z
14、⎟+⎜⎜
15、f()z
16、⎟⎟=
17、f'()z
18、⎝∂x⎠⎝∂y⎠22证
19、f()z
20、=u+v，于是2∂u∂v∂u∂vu+vu+v∂()∂x∂x∂∂y∂y
21、fz
22、=，
23、f()z
24、=∂xu2+v2∂yu2+v2由于f()z=u+iv为解析函数，故∂u∂v∂u∂v=，=−，∂x∂y∂y∂x从而22⎡22⎛∂⎞⎛∂⎞12⎛∂u⎞2⎛∂v⎞⎜
25、f()z
26、⎟+⎜
27、f()z
28、⎟=⎢u⎜⎟+u⎜−⎟⎜⎟22⎝∂x⎠⎝∂
