迭代法解线性方程组-数值分析实验报告

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1、修I劝械京呼協数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目:专业:学号:姓名:指导教师:迭代法解线性方程组信息与计算科学1309302-24成绩：二零一六年六月二十日—、前言：（目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。2.实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用

2、范I韦I和优缺点并进行比较。二、数学原理：设有方程组…①…②…③Ax=h将其转化为等价的，便于迭代的形式x=Bx^f（这种转化总能实现，如令B=I-AJ=h并由此构造迭代公式严）=加）+/式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量x（0）,由式③可求得向量序列｛兀⑹斤，若则/就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性1•雅可比迭代法基本原理…①设有方程组Xaijxi二bj(i=1,2,3,…,川)矩阵形式为Ax=bf设系数矩阵A为非奇异矩阵，且山H0,（

3、/二1,2,3,・・・,力从式①中笫i个方程中解出x,得其等价形式]n无=—0-工…②取初始向量+°)=(聲),雋°),・・・,对°)),对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式:1“宀訂―,盘屛*)…③也可记为矩阵形式:严)二矿+Fj…④若将系数矩阵A分解为A二D-L-U,A=D—L—U=aa2n式屮0…0'■0…0"0a”••••••~a2l°■■■■■■••・0••••••••••••0•••°%.__an…一ann-an—6f

4、20勺2-a~an-0%10丿roan0则方程Ax二b变为(D-L-U)x=bD

5、x=(L+U)x^b=D-D-A)x-^Dib=(/-£>_1A)x+D_1Z?于是式中④中的Bj=I—DTA,fj=D-'b°式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。2.高斯一赛德尔迭代法高斯一赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为也可以写成矩阵形式仍将系数矩阵A分解为则方程组变为得将最新分量代替为旧分量,A=D-L-U(D-L-U)x=bDx=Lx+Ux+b得D严）"严）+S⑹+b(D-L)x(k+l}=Ux(k)+b于是有严)=(D-L)~[U

6、x(k)+(D-LYlbBg_s=(D—ufas=—L「b1.超松弛迭代法设已知第k次迭代向量兀⑷，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量£Z）,（j=l,2,・・・iT）,现在研究如何求向Mxu+,）的第i个分量#3）。首先，有高斯一赛徳尔迭代法求出一个值，记为再将第k次迭代向量的第i个分量X,）与列⑷）进行加权平均,得兀:⑷），即：君7=(1-劲护+应严)=h)+秋#Z-聆)于是的SOR迭代公式zn

7、_血)才)+—(/?.■-工知对⑷—£知兀畀)(i=h2,•••n)…②aiij=j=i+当e=i吋，式①即为高斯一赛徳尔迭代法；当0<6y1时，式①称为超松弛方法，可以用来提髙收敛速度。将式②写成矩阵的形式，得：DXa+1)=(1-a))DX也+a)(b+LXa+1)+UX⑷)即(D—coL)x(k+})=[(1-(6)D+coU]x(k)+ebb于是得SOR迭代的矩阵表示x{k+l)=Ba)X(k)fco式屮Bco={D-泌

8、尸[(1一効D+qU]fa)=a)(D-a)Ly]b三、举例说明及代码例1：解下面方程组.(雅克比迭代方法、高斯-赛德尔和松弛法的比较)12-2_「x「T111X2—1221_^3_1解：先计算迭代矩阵：_0Bj=DXL+U)=・1・20-2Bg=(D・L)"U=0200B」与&的特征值跟收敛半径为人(Bj)=O,(i=1,2,3)人叫)=0,43(Bg)=2,p(Bg)=2>1所以，用雅可比迭代法求解，迭代过程收敛，而用高斯-塞德尔迭代法求解,迭代过程发散。取x°=(0;0;0),为达到精度10爲取w=0.1o雅可比迭代法松弛法3

9、184代码:1.雅可比迭代法function[x,k]=jacobi(A,b,xO,esp)%k为迭A=input(1InputA=1);b=input(1Inputb=1);x0=input(1Inputx0=1);esp=l•Oe