数列与函数结合的综合问题

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1、数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。一、利用具体函数的解析式得递推关系例1：已知函数中，，（1）求函数的解析式；（2）各项均不为零的数列满足：，求通项？（3）在条件（2）下，令，求数列的前项和？分析：由题知：，所以，所以可求得：例2：函数；（1）求的反函数；（2）数列满足：，且，求数列的通项公式；（3）在条件（2）下，令，求数列的前项和？分析：（1）由题知：；（2）（3）5例3、设函数，(1)证明：对一切，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记，求,并求出数列{an}的前n项和。解

2、：∵，∴=∴2=∴=∴Sn==二、利用抽象函数的性质得递推关系：例1：是上不恒为零的函数，且对任意都有：，（1）求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）若，，求数列的前项和？简析：（1）；（2），再令，所以为奇函数；（2）当时，，令函数，所以有：，所以有：，得5；又因为：，所以：，。例2：已知函数是定义在上的函数，且满足。设，且有：；（1）求证：；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围。解：（1）由于，所以有，也有：由：，得，令，也即有：，由错位相减得出：（2）由，所以：，又因为，所以是等比数列，有，又，所以有了：，设有：5所以是单调递

3、减的。也当时，取得最大值，由题有：。练习：已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，,且当x,y∈(-1,1)时，恒有,又数列{an}满足,设．（１）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；（２）求f(an)的表达式；（３）是否存在自然数m，使得对任意n∈N,都有成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．讲解　（１）紧扣奇函数的定义，选择特殊值．令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),故f(x)在（-1，1）上为奇函数．（２），即　　　　　　

4、　　，∴{f(an)}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1.　（３）先求的表达式，得，若恒成立（n∈N+）,则，　　　　　　　即　　　　　　　　　　　　　　　　∵n∈N+，∴当n=1时，有最大值4，故m>4．又∵m∈N,∴存在m=5，使得对任意n∈N+，都有5成立.　　5