数值分析课件 插值法.pdf

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1、第四章插值法实际问题中，y=f(x)表达式复杂多样，有时只能观测到一些离散数据（函数值或导数值）；或者f()f(x)过于复杂而难以运算，也经常构造函数表，如三角函数表.任务：用能够反映f(x)特性且便于计算的近似函数p(x)近似代替f(x).一个自然的想法是：希望p(x)通过所有的已知点.p(x)≈f(x)x0x1x2xx3x4定义（点插值）：函数y=f(x)在区间[a,b]x∈[,]ab上有定义，已知n+1个互异节点i上的函数值y=f(x),(i=0,1,,n).iiΦ为某一给定函数类，求Φ上的函数ϕ()x满足主要信息：(被)插值函数，插值节点，插值条件问题：•选取

2、哪一类函数？•如何构造？•解是否存在唯一？•误差估计4.1多项式插值的一般提法最简单的插值函数是代数多项式2nΦ=Ρ=span{1,x,x,x}={np(x)=a+ax++ax,a∈R,i=1,2,n}.n01ni求n次多项式pxPn()∈,使满足：p(x)=y,i=0,1,,n.nii由插值条件，系数ai满足线性方程组：na+ax++ax=y010n00na+ax++ax=y011n11na+ax++ax=y01nnnnVandermonde行1n列式1x0V(x,,x)==∏x−x≠0,0nijn0≤1j

3、一，即插值多项式存在唯一。问题：病态方程组，n越大越病态4.2Lagrange插值定义：若n次多项式l(x)(i=0,1,,n)在n+1i个节点a≤x

4、=(j0nj=0ω()x则lx()=i()()xx−ω'(()x)ii注n注：span{1,x,,x}=span{l(x),l(x),,l(x)}.01nLagrange插值多项式，存在唯一n令LlLni()xy=li()xi=0=++lxylxy()()...+lxy()0011nn则L(x)=y=f(x),i=0,1,,n.niii•线性插值（n＝1）xx−xx−10lx()=,lx()=,01xx−xx−0110L()x=+ylx()ylx()10011L(x)y=f(x)1y1y0R(x)1x0x1•二次插值（n=2）()xxxx−−()12lx()=,

5、0()xxxx−−()0102()xxxx−−()02lx()=,1()xxxx−−()1012()xxxx−−()01lx()=,2()xxxx−−()2021Lx()=++yyyylx()ylx()ylx().2001122πππ113例414.1：已知siiiin,===sin,sin,624232分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50sin50°.05π50=18解：n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算x0x1x2ππ利用x=,x=L(x)=x−π/4×1+x−π/6×101164π/6−π/42π/4−π/625πsin50≈

6、≈L1()0.77614,sin50°=0.7660444…18外推/*extrapoltilation*/的实际误差≈−0010010.01001利用x=π,x=πsin50sin50°≈0.76008,1243内插/*interpolation*/的实际误差≈0.00596内插通常优于外推。选择需计算的x所在区间的端点，插值效果较好n=2()x−−ππ()x143Lx()=×2()ππππ−−()26463()xx−−ππ()13()xx−−ππ()6364+×+×()ππππ−−()2()ππππ−−()2464336345πsin50≈≈L2()07654

7、3)0.76543,sin50°=0.7660444…182次插值的实际误差≈0000610.00061高次插值通常优于低次插值434.3插值余项截断误差R()x=−f()xLx().nn定理：设函数f()x在[a,b]上有直到n+1阶导数，则∀∈x[,],ab有(1n+)f()ξRxfxLx()=−=()()ω()x，nn(1n+)!n其中，ω()x=−∏(xxj),ξ∈(,)ab与x有关.j=0证明：R(x)=f(x)−L(x)=0,i=0,1,,n,niini令R(x)=k(x)(x−x)(x−x)=k(x)ω(x).n0n∀