数值分析中的（插值法）

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1、§8三次样条插值§2Lagrange插值§1引　　言§7分段低次插值§6Hermite插值§5差分与等距节点插值公式§4均差与Newton插值公式§3逐次线性插值法(自学)§9评　　述第二章插值法数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编上的函数值，即已知函数表例：设在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由实验、观测得到在一系列离散点第一节引言一、一个实例那么如何计算？数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实

2、数,称为节点。已知y=f(x)在点xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一简单函数P(x)，满足P(xi)=yi(i=0,1,...,n)(2.1－1)二、插值问题的一般性提法即简单函数P(x)的曲线要经过上已知的n+1个点数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编同时在其它点上估计误差为YX●●●●●·数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编若p(x)是次数不超过n的代数多项式,即（2.1－2）则称p(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若p(x)为分段多项式，就是分段插值。若p(x)为三角多项式，就是三角插值,还有

3、有理插值等。本章主要讨论多项式插值与分段插值。注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编若满足条件的存在，又如何构造？三、多项式插值问题中需要研究的问题满足插值条件的多项式是否存在？唯一？用近似代替的误差估计？数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编定理1设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi的次数不超过n的多项式存在且唯一。下面先研究第一个问题定理1不仅解决了问题1，其证明过程也给出了

4、问题2——求插值多项式的一种方法。但一般不用这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求解过程是精确的，多项式求值的误差也是可观的。数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编拉格朗日插值多项式的优缺点截断误差拉格朗日插值多项式数值实例第二节拉格朗日插值数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编一、拉格朗日插值多项式其中1.两个互异节点(x0,y0),(x1,y1)且满足：数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编2.三个节点(x0,y0),(x1,y1)，(x3,y3)其中：令满足：数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编3.有n+

5、1个互异节点(x0,y0),(x1,y1)…(xn,yn)显然：设：我们称n次多项式Ln(x)为拉格朗日插值多项式，Li(x)为插值基函数。显然满足(2.2－1)取插值条件数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编注：（1）插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)仅由插值节点xi(i=0,1,…,n)确定,与被插函数f(x)无关.（3）对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。（2）以xi(i=0,1,…,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的一个性质数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编数

6、值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编关于截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)有下面定理。定理2设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x[a,b],有且与x有关)二、截断误差（插值余项）数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编证由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk时,式子显然成立。且x0,x1,…,xn都是函数n+1(x)的零点,也是Rn(x)的零点，从而Rn(x)可表示为其中K(x)是待定函数。对于任意固定的x[a,b],xxk,构造自变量t的辅助

7、函数数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编由式n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0,x1,,xn和x是(t)在区间[a,b]上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使即所以数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编注：1.余项表达式只有在高阶导数存在时才能使用。2.ξ在（a，b）内的具体位置通常不能给出。3.一般说来，外插比内插效果差。4.数值分析　第二章　插值法李庆扬　王能超　易大义编例已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0

8、.333487,sin0.36=0.352274,用