《数值分析插值法》PPT课件

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1、在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi(i=0,1,...,n)处的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)这类问题就称为插值问题，P(x)称为插值函数，P(x)一般取最简单又便于计算得函数。第2章插值法x0x1x2x3x4xP(x)f(x)f(x)

2、y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它点P(x)f(x)=y2.1.1插值问题设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)(5-1)这就是多项式插值问题.2.1引言其中Pn(x)称为f(x)的n次插值多项式,f(x)称为被插函数,xi(i=0,1,...,n)称为插值

3、节点,(xi,yi)(i=0,1,…,n)称为插值点,[a,b]称为插值区间,式(5-1)称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).即P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插值，本章只讨论插值多项式与分段插值。本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数

4、，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。定理1设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次数不超过n的多项式存在且唯一.证设所求的插值多项式为Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组2.1.2插值多项式的存在性和唯一性此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由

5、克莱姆法则知方程组(5-3)的解存在唯一.证毕。考虑最简单、最基本的插值问题.求n次插值多项式li(x)(i=0,1,…,n),使其满足插值条件2.2.1基函数可知,除xi点外,其余都是li(x)的零点,故可设Lagrange法1736-18132.2拉格朗日插值其中A为常数,由li(xi)=1可得称之为拉格朗日基函数,都是n次多项式。n=1时的一次基函数为:y1Oxy1Ox即已知函数f(x)在点x0和x1点的函数值y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数L(x)=a0+a1x使满足条件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此为

6、两点线性插值问题或用直线的两点式表示为：插值基函数的特点：x0x1l010l1011x0x1l0l1记n=2时的二次基函数为:可知其满足2.2.2拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数li(x),构造次数不超过n的多项式称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性,得特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线.注意:(1)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;以xi(i=0,1,…,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,由插值多项式的唯一性即得基函

7、数的一个性质(2)插值基函数li(x)仅由插值节点xi(i=0,1,…,n)确定,与被插函数f(x)无关;(3)插值基函数li(x)的顺序与插值节点xi(i=0,1,…,n)的顺序一致.这是因为若取(x)=xk(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,就得到所以例1已知用线性插值(即一次插值多项式)求的近似值。基函数分别为:解插值多项式为()例2求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).解以以为节点的基函数分别为:则拉格朗日的三次插值多项式为截断误差Rn(x)=f

8、(x)-Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。定理2设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi∈[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x∈[a,b],