浅论如何处理抛物线中的“定点”问题

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1、浅论如何处理抛物线中的“定点”问题：抛物线的定点问题是考查学生创新意识、探究能力的一类数学问题，笔者通过具体定点问题的探索，浅谈了这种问题的实质以及解决方案。　　关键词：抛物线；定点；探索　　　　近年来各省的高考试卷中不断涌现出各式各样的探究性问题，考查了学生的创新意识，其中以抛物线为载体，考查直线过定点的问题频繁出现，本文结合自己的教学实践，详细叙述如何处理抛物线中的“定点”问题。　　一、先探究定点，再进行证明　　从特殊到一般是数学学习的重要思想。在处理抛物线中的“定点”问题，就可以先从特殊情况出发，构造某两条特殊直线，通过这两条特殊直线求出它们的交点，如果

2、动直线经过定点，一定经过所求出的特殊直线的交点，并且只能是这个点，然后进行证明这个点与动直线中的参量没有关系，恒在直线上，所以动直线永远经过某定点。　　例1：过抛物线x2=2py的顶点O（O为坐标原点）做直线OP，PQ且与抛物线交于P、Q使得ＯＰ⊥ＯＱ，求证：直线PQ过定点，并求出此定点。　　解析：当OP:y=2x时，由x2=2pyy=2x得x2-4px=0，此时P（４p，8p），　　把点M（0，2p）的坐标代入上述方程中成立。　　所以直线ＰＱ过定点Ｍ（０，2p）。　　二、先寻找本质，再探究定点　　研究问题要寻找它的本质，抛物线问题中的动直线经过某定点的问题的

3、本质是什么呢？为什么会经过定点呢？定点是什么呢？在研究平面几何中的直线方程的时候，有一个直线的点斜式方程即经过点M（x0，y0），斜率为k的直线方程是y-y0=k（x-x0），反之，当直线方程是y-y0=k（x-y0）并且k在实数内变化时直线经过定点（x0，y0）。推广到一般情形，直线λ1（A1xB2yC1）λ2（A2xB2yC2）=0（A1B2≠A2B1），当λ1λ2在实数范围内变化时，该直线经过直线A1x＋B1yC1和A2xB2yC2的交点（x0，y0）。因此，我们要预设动直线方程，然后通过变形，数据处理，整理出满足条件的形式，再给出结论。　　1.直接设动

4、直线的方程，进而探究定点　　例2：设M（x0，y0）是抛物线x2=2py上的定点，过点M作直线MP、MQ，且与抛物线交于P、Q，使得MP⊥ＭＱ，求证：直线ＰＱ过定点，并求出此定点。　　解析：设ＰＱ：y=kxb，P（x1，y1），Q（x2，y2），　　由x2=2pyy=kxb得x2-2pkx-2pb=0，　　即AP：x1x-py-py1=0，　　同理AQ：x2x-py-py2=0，　　因为AP，AQ的交点M（x0，-2p），　　所以x1x02p2-py1=0x2x02p2-py2=0　　说明x=x1y=y1，x=x2y=y2是方程x0x-py2p2=0的解。　　

5、因为两点确定一条直线，所以PQ：x0x-py2p2=0，　　PQ：x0x（x-0）-（py-2p2）=0，　　所以直线PQ过定点（0，2p）。　　总之，抛物线中的“定点”问题的题型虽然千变万化，但是其常用的解题策略还是有法可依的，只要我们理解好抛物线中的“定点”问题的实质，把握好抛物线中的“定点”问题所遵循的规律，这类问题都会迎刃而解的。　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文