数值分析(清华大学出版社)

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1、第一章3.已知，求以下近似值的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）有2位有效数字（2）有4位有效数字（3）有2位有效数字（4）有4位有效数字4.正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1?[解]由可知，若要求，则，即边长应满足。5(1)①1-cos2°=1-0.9994=0.0006只有一位有效数字②1-cos2°=2sin²1°=2×0.0175²≈0.6125×=0.3327③(2)6.求解方程，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用。解：利用求根

2、公式求得两个根为，由与（五位有效数字）可知（五位有效数字），只有两位有效数字，不符合题意。由于两个相近数相减误差很大，所以利用韦达定理可知7.设，，用四舍五入的六位数字运算分别计算和的近似值，并分析哪个结果计算比较准确，原因何在？解：用四舍五入法保存6位有效数字可得；而因此比较准确，原因是相近数相减有效数字会有所损失，故更加准确。8.下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字的损失？(1)(2)(3)(4)解：（1）因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，，则，，从而，因此。(2)当x充分大时为两个相近数相减，

3、利用分子有理化得(3)当x充分大时为两个相近数相减，利用对数的性质得(4)当时为两个相近数相减，利用三角公式性质得10、已知,x.试求中函数的范围和.11.求下列向量的范数和.(1)(2)解：（1）（2），13.求下列矩阵A的范围,,以及.（1）（2）解：（1）=6=5.46=7==5.3723（2）=4=3.4142=4==3.414219.确定a的取值范围使，为对称正定矩阵解：由题可知A矩阵为对称矩阵，而A成为对称正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式故故联立可以得到21、分别求出所有的a、b值，使得：（1）A奇异；

4、（2）A严格对角占优；（3）A对称正定；解：（1）因为Ａ奇异，所以矩阵Ａ的行列式的值等于零。求得ａ、ｂ值应满足３ａ＝２ｂ。（2）根据严格对角占优矩阵的定义可列出不等式解得(3)因为矩阵Ａ对称，所以ｂ＝１。因为A对称正定，所以A的所有顺序主子式值全部大于零。一阶顺序主子式大于零得：a＞0二阶顺序主子式大于零得：2a＞1三阶顺序主子式大于零得：3a＞2解得a＞2/3。所以满足A对称正定的条件是b=1，a＞2/3。