巧用轴对称知识解决实际问题

《巧用轴对称知识解决实际问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、巧用轴对称知识解决实际冋题陈佩山摘要：木文研宄了“轴对称变换法”在求线段和的最小值、求线段差的最大值问题中的应用与意义.从原理上进行了理论性分析、同时对应用中出现的两种情况一一“最大值、最小值问题”进行了分类归纳与总结。关键词：特殊方法；轴对称知识；线段和差的最大值、最小值求线段和的最小值和线段差的最大值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。下面通过几个典型的例题来说明轴对称知识在解决问题中的作用。轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。也就是说，在轴对称图形或两个成轴对

2、称的图形中的两个对应点到对称轴上任意一点的距离都相等.一、利用轴对称性求线段之和的最小值例1.如图，草原上两居民点A,B在笔直河流L的同旁，一汽车从A处岀发到B处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点.分析：将这一问题转化为数学问题，即己知直线L及同侧的点A和点B,在L上确定一点C,使AC+BC最小.首先，我们思考若点A和B点分别在直线L的两侧，则点C的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C应是与AB直线L的交点，如图（2）,这就是说，设线段AB交L于点C,点C/是直线上异于点C的任意一点，总有AC+BC

3、因此，解决上述问题的关键是将点A（或点B>移至L的另一侧（设点A移动后的点为A/>,且使A、A/到直线L上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解:如图（3>,作点A关于直线L的对称点A/,连接A/B交L于点C,则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短.例2:如图所示，在公路L的一侧有两个村庄A、B，现要在公路L旁修建一个车站，问车站应建在什么地方，才能到A,B两村庄的距离之和最短？分析：利用轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1,在直线L上任意定一点M,连接BBI,BM,B1M,根据轴对称知识，我们可以求证BM=B1M,所

4、以，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离.要使AM+B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与AB1连线和L的交点N重合，所以，公路旁的N点为到A、B的距离之和最小的点.证明：M为L上的任意点.因为BM=B1M,所以，BM+AM=B1M+AM,而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立.例3.己知在菱形ABCD中，∠A=60?，AD=8,M、N分别是AB,BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM+PN的最小值.分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，而CD边的中点G,是N关于对称轴AC的对应点.

5、所以，PG=PN.因此求PM+PN的最小值就转化为求PM+PG的最小值，连接MG,在APMG中，PM+PG的最小值就是MG，即PM+PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）.解：取CD的中点G,连接PG?,•••AC是菱形ABCD的对角线？？.∴∠PCG=∠PCN，又CB=CD，N是BC边的中点?∴CN=CG..又PC=PC，∴APCG^APCN?∴PG=PN,连接MG。∴四边形AMGD为平行四边形.∴MG二AD=8.在APMG中，（仅当P、M、G三

6、点共线吋取等号）.故PM+PN的最小值为8.分析：要想求PE+PC的最小值,关键是确定点P的位置，根据对称的知识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线与BD的交点.解:因为四边形ABCD为正方形,所以点C关于BD的对称点为A,连接AE交BD于P点，则此吋PE+PC的最小值最小，最小值为:PE+PC=AE=?.二、利用轴对称性求线段之差的最大值例4.己知点A(1,5),点B(3,-1)两点，在X轴上取一点M,使AM-BM取得最大值吋，则M的坐标为()解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为

7、所求的M点.此吋AM-BM=AM-B′M=AB′.证明：不妨在x轴上任取一个另一点M′，违接M′A、M′B、M′B.贝1JM′A-M′B=M′A-M′B′

8、b，把A(1,5)和B&