第15讲 高频考点分析之最值探讨-备战2014高考数学专题讲座

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1、1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。纵观近年高考，从题型分布来看，大多数一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右，它在高考中占有比较重要的地位。　　分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种

2、：　　1．函数（含三角函数）的最值；　　2．学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等；　　3．字母（函数）的取值范围；　　4．不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如：对恒成立的最小值≥0成立，对恒成立的最大值≤0成立，等等；　　5．实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。　　结合中学数学的知识，高考中最值问题的求解方式一般有以下几种：1．应用二次函数的性质（配方法）求最值；2．应用不等式（含基本不等式）求最值；3．应用导数求最值；4．应用单调性等性质求最值；5．应用函数的值域求最值；6．应用三角

3、函数求最值；7．应用几何、向量知识求最值；　　　8．应用线性规划求最值。结合2013年全国各地高考的实例，我们从以上八方面探讨最值问题的求解。一、应用二次函数的性质（配方法）求最值：初中阶段研究二次函数的最值，是从配方法开始的。设，则，根据偶次幂的非负性质，当时，若a>0，有最小值；若a<0，有最大值。到了高中，这里的可以是自变量，也可以是代数式或函数。应用二次函数的性质（配方法）求最值是求最值的基本方法之一。典型例题：例1.（2013年北京市理5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线

4、CC1的距离的最小值为▲.【答案】。【考点】点、线、面间的距离计算。【分析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，过点P作PH⊥CC1于点H，连接PC∴点P到直线CC1的距离：例2.（2013年广东省理14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L：的距离为。设P为直线L上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点。（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线L上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线L上移动时，求的最小值。【答案】解：（1）（2）略

5、【考点】抛物线的性质，点到直线的距离公式，导数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，韦达定理的应用，二次函数的最小值。【解析】（1）（2）略（3）求出关于点P纵坐标y0的函数表达式，应用二次函数的最小值求解。例3.（2013年江苏省5分）在平面直角坐标系中，设定点，P是函数（）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为▲。【答案】－1，。【考点】二次函数性质的应用，分类思想和整体思想的应用。【解析】由题意知，点在直线上，分两种情况：当点在（）图象左下方时，点P的坐标为（1，1）（与的交点），点P，A之间的距离最短，由两点间距离

6、公式，得，解得，或（不在图象的左下方，舍去）。例4.（2013年江苏省16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再从匀速步行到C。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为，经测量，，。（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】解：

7、（1）在△ABC中，，，∴。∴【解析】（1）应用同角三角函数关系式求出求出，从而求得，应用正弦定理即可求得索道AB的长。（2）应用余弦定理表示出乙在缆车上与甲的距离关于乙出发时间的函数关系式，应用二次函数的最值求解。（3）根据两位游客在C处互相等待的时间不超过分钟列不等式组求解。例5.（2013年全国新课标Ⅱ理12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：的右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（1）求M的方程（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.（2）由解得或，∴

8、AB

9、＝。

10、∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为。【考点】直线与圆锥曲线的关系，直线的一般式方程与直线的垂直关系，圆锥曲