【备战2013】高考数学专题讲座 第17讲 高频考点分析之极限、导数和定积分探讨.doc

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第17讲：高频考点分析之极限、导数和定积分探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。在我国现在中学数学新教材中，微积分处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用。结合中学数学的知识，高考中微积分问题主要有以下几种：1.极限的计算；2.应用导数求函数的最（极）值；3.应用导数讨论函数的增减性；4.导

2、数的几何意义和应用导数求曲线的切线；5.定积分的计算和应用。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨极限、导数和定积分问题的求解。一、极限的计算：典型例题：例1.（2012年四川省理5分）函数在处的极限是【】A、不存在B、等于C、等于D、等于【答案】A。【考点】分段函数，极限。【解析】分段函数在处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。故选A。例2.（2012年重庆市理5分）▲.【答案】。【考点】极限的运算。【分析】。48例3.（2012年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则▲.

3、【答案】。【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，。二、应用导数求函数的最（极）值：典型例题：例1.（2012年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【】（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值【答案】D。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，－2，1，

4、2，∴。由此得到，，，和在上的情况：48－212＋0－0＋0－＋＋＋0－－－＋0－－－0＋↗极大值↘非极值↘极小值↗∴的极大值为，的极小值为。故选D。例2.（2012年陕西省理5分）设函数，则【】A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】∵，令得。∴当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以为的极小值点。故选D。例3.（2012年陕西省文5分）设函数则【】A．=为的极大值点B．=为的极小值点C．=2为的极大值点D．=2为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的

5、极值。【解析】∵，令得。∴当时，，为减函数；当时，，为增函数。∴为的极小值点。48故选D。例4.（2012年广东省理14分）设a＜1，集合，（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数在D内的极值点。【答案】解：（1）设，方程的判别式①当时，，恒成立，∴。∴，即集合D=。②当时，，方程的两根为，。∴∴，即集合D=。③当时，，方程的两根为，。∴。48∴，即集合D=。（2）令得的可能极值点为。①当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗∴在D内有两个极值点为：极大值点为，极小值点为。②当时，由（1）知=。∵，∴，∴随的变

6、化情况如下表：0↗极大值↘↗∴在D内仅有一个极值点：极大值点为，没有极小值点。③当时，由（1）知。48∵，∴。∴。∴。∴在D内没有极值点。【考点】分类思想的应用，集合的计算，解不等式，导数的应用。【解析】（1）根据根的判别式应用分类思想分、、讨论即可，计算比较繁。（2）求出，得到的可能极值点为。仍然分、、讨论。例5.（2012年浙江省理14分）已知，，函数．（Ⅰ）证明：当时，（i）函数的最大值为；（ii）；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)证明：(ⅰ)．当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，此时的最大值为：＝

7、2a－b

8、﹢

9、a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时的最大值为：＝

10、2a－b

11、﹢a。48综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为

12、2a－b

13、﹢a。(ⅱ)设＝﹣，∵，∴令。当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，此时的最大值为：＝

14、2a－b

15、﹢a；当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，≤

16、2a－b

17、﹢a。综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)

18、2a－b

19、﹢a，即＋

20、2a－b

21、﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为

22、2a－b

23、﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(

24、2a－b

25、﹢a)

26、要大。∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，∴

27、2a－b

28、﹢a≤1。取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b。作图如下：48由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．∴所求a＋b的取值范围为：。