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1、WORD格式可编辑第四章向量组的线性相关性1．教学目的和要求：（1）理解n维向量、向量的线性表示的概念.（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.（3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.（4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系.（5）理解线性方程组解的性质.（6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.（7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念.
2、（8）会用初等行变换求解线性方程组.2．教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构.3．教学难点：（1）向量组的线性相关性中相关定理的证明.（2）求向量组的秩及最大线性无关组.（3）线性方程组的解的结构定理及其应用.4．教学内容：§1向量组及其线性组合定义1个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个分量,第个数称为第个分量.定义2对维向量及,若有数组,使得，称为的线性组合,或可由线性表示．例1设,,,试判断可否由线性表示?解设，比较两端的对应分量可得,求得一组解为于是有
3、,即可由线性表示．专业知识分享WORD格式可编辑[注]取另一组解时,有．定理1向量能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵=的秩等于矩阵的秩=.定义3设有两个向量组:及:,若组中每个向量都能由向量组线性表示,则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能互相线性表示,则称这两个向量组等价.定理2向量组:能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵=的秩等于矩阵的秩=的秩,即推论向量组:与向量组:等价的充分必要条件是,其中和是向量组和所构成的矩阵.定理3设向量组:能由向量组:线性表示,则课后作业:习题四1，
4、2，3，4，5§2向量组的线性相关性定义4线性相关：对维向量组,若有数组不全为0,使得则称向量组线性相关,否则称为线性无关．线性无关：对维向量组,仅当数组全为0时,才有则称向量组线性无关,否则称为线性相关．[注]对于单个向量：若,则线性相关；若,则线性无关．对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.例2判断例1中向量组的线性相关性．解设,比较两端的对应分量可得即．因为未知量的个数是4,而,所以有非零解,由定义知线性相关．例3已知向量组线性无关,证明向量组 ,,线性无关．专
5、业知识分享WORD格式可编辑证设,则有因为线性无关,所以,即系数行列式,该齐次方程组只有零解． 故线性无关．例4判断向量组,,…,的线性相关性．解设,则有只有 故线性无关.定理4（1）向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证必要性已知线性相关,则存在不全为零,使得 不妨设,则有． 充分性不妨设,则有因为不全为零,所以线性相关．（2）若向量组线性无关,线性相关，则可由线性表示,且表示式唯一．证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得若,则有．矛盾!故,从而有．下面证明表示式唯
6、一：若,专业知识分享WORD格式可编辑则有因为线性无关,所以即的表示式唯一．（3）线性相关线性相关．证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得数组不全为零,故线性相关．推论向量组线性无关任意的部分组线性无关．定理5设(1)线性相关；(2)线性无关．证设比较等式两端向量的对应分量可得即．由定理可得：线性相关有非零解推论1在定理5中,当时,有(1)线性相关；(2)线性无关．推论2在定理5中,当时,有(1)线性相关中所有的阶子式（）；(2)线性无关中至少有一个阶子式()．推论3在定理5中,当时,必有线性相关．
7、因为,由定理5(1)即得．推论4向量组：向量组：专业知识分享WORD格式可编辑若线性无关,则线性无关(即无关组添加分量仍无关).证线性无关是的子矩阵线性无关定理6划分,则有(1)中某个中“所在的”个行向量线性无关；中“所在的”个列向量线性无关．(2)中所有中任意的个行向量线性相关； 中任意的个列向量线性相关．证只证“行的情形”：(1)设位于的行,作矩阵,则有线性无关．(2)任取中个行,设为行,作矩阵,则有线性相关．[注]称为的行向量组,为的列向量组．§3向量组的秩定义5向量组的
8、秩：设向量组为,若(1)在中有个向量线性无关；(2)在中任意个向量线性相关（如果有个向量的话）． 称为向量组为的一个最大线性无关组,称为向量组的秩,专业知识分享WORD格式可编辑记作：秩．[注](1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0．(2)秩时,中任意个线性无关的向量都是的一个最大无关组．例如,,,,的秩为2．线性无关是一个最大无关组线性无关是一个最大无关组[注]一个向量组的最大无关组一般不是唯一的.定理7设,则(1)的行向量组（列向量
