数系的扩充与复数的概念.doc

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1、§3.1.1数系的扩充和复数的概念三维目标知识技能：（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）应用复数及其相关概念解决相关问题。过程方法：让学生充分阅读、质疑、探究、类比从正整数到有理数、到实数的扩充过程，体会复数引入的合理性。必然性。情感态度价值观：掌握必备的知识，开阔思维视野。用发展的眼光看待问题。教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．学法点要：1．i是一个数，是虚数单位，i2＝－

2、1，in＝2．任意两个复数，只有相等与不等的关系，不能像实数那样比较大小．只有当两个复数都为实数时，才可以比较大小；两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等，∴a＋bi＝0⇔a＝b＝0.3．z＝a＋bi中，a、b∈R的条件应引起足够重视，没有这一条件，a、b就不能称作复数的实部与虚部．4．复数分类的条件是解决复数问题的依据教学过程一．情境导入1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了

3、刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构数学1．为了使方程有

4、解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成()的形式．2．复数概念及复数集形如()的数叫做复数（）．全体复数构成的集合叫做复数集（），一般用字母来表示，即．显然有N*NZQRC．3．复数的有关概念1)复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部（）与虚部（）；2）虚数

5、和纯虚数①复数()，当时，就是实数．②复数()，当时，叫做虚数（）．特别的，当，时，叫做纯虚数（）．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，（复数相等的充要条件），特别地：（复数为的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．三．数学运用范例评析：例1．写出下

6、列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．解：的实部分别是；虚部分别是．是实数；是虚数，其中是纯虚数．例2．实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值．解：（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当，且，即时复数是纯虚数．（变式引申）：已知，复数，当为何值时：（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：（1）当且，即时，是实数；（2）当且，即且时，是虚数；（3）当且，即或时，为纯虚数．思考：是复数为纯虚数的

7、充分条件吗？答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件．例3．已知，求实数的值．解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：．（变式引申）：已知，求复数．解：设，则，，由复数相等的条件．2．巩固练习：（1）已知复数，且，则．解：，则．故虚部或．但时，，不合题意，故舍去，故．（2）m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？[分析]　在本题是复数的标准形式下，即z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可[解析]　(1)当时，∴

8、当m＝5时，z是实数．(2)当时，即∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数(3)当时，即∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．3、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4