函数的单调性和最值

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1、第2课时函数的单调性和最值2011·考纲下载理解函数的单调性及其几何意义；会运用函数图象理解和研究函数的性质；会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．请注意！函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．如2010年广东卷第19题，2010年浙江卷第15题等.课前自助餐课本导读1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)为区

2、间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且x1

3、(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．③y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是增函数．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是减函数．④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．⑤若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0

4、∈I，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．教材回归答案(1)(－∞，－1)，(－1，＋∞)(2)(－1,1]答案D答案A4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区间________．答案(－∞，－2)，(4，＋∞)解析　先求函数的定义域，令x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，通过图象得函数u＝x2－2x－8，在x＞4时，单调递增，在x＜－2时递减，所以原函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)在(4，＋∞)上递减，在(－∞，

5、－2)上递增．评析　求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，在定义域的基础上，划分单调增(减)区间，因此，函数的单调区间应是定义域的子集．5．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有()A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)0∴a>－b，b>－a∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴选A.授人以渔探究1(1)判断函数的

6、单调性有三种方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．探究2(1)作函数图象，利用数形结合求函数的单调区间，是最基本的方法．(2)复合函数的单调区间：①复合函数的单调性y＝f(x)增增减减t＝g(x)增减增减y＝f[g(x)]增减减增即“同增异减”；②求复合函数的单调区间时，要注意单调区间必须在定义域内．探究3(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数的闭区间

7、[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．探究4本题主要是考查复合函数的单调性，当内外函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相异时，为减函数．另外，复合函数的单调区间一定是定义域的子区间，在解题中，要注意这一点．1．(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)＋g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)．(2)复合函数的单调性判断，要注意掌握

8、“同增异减”．2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且x10时为增函数，当f′(x)<0时为减函数．4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．本课总结自助餐·方法技巧专题——求函数值域（或最值）的几种常用方法【答案】C