《格林函数法》ppt课件

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1、第六章格林函数法本章主要研究基本解和格林函数及其在边值问题和初值问题中的应用，并介绍混合问题的相关解法。6.1格林公式高斯公式其中n为S的外法线方向。（1）取整理得于是得到第一格林公式（2）得同理，有（3）将上二式两边相减得第二格林公式（4）三维公式几种常用的积分形式在公式（4）中若令△v=δ(x,y,z)，并在边界上取v=0，可得若令u=1，可得平面格林公式或写成对弧长积分的形式（5）（6）其中n=(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。二维公式由公式（6）可推导出，平面第二格林公式（7）（8）其中n为边界曲线C的外法线向量。

2、关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系推导细节公式（6）左边等于设公式（6）右边等于如是证得公式（8）。推导细节几种常用的积分形式在公式（8）中若令△v=δ(x,y)，并在边界上取v=0，可得若令u=1，可得讨论二维第二格林公式令由三维Stokes环流定理可得二维第二格林公式6.2基本解定义1设L为线性微分算子，称方程LU=δ(M-M0)的解U(M,M0)为方程LU=0或LU=f(M)的解本解，其中M为区域Ω内任意一点，M0为Ω中的任意一个固定点。求三维拉普拉斯方程的基本解解由定义1可知，即求U使其满足方程以固定点M0为原点，建立球

3、坐标，并假设U与θ,φ无关，方程化为其中求解常微分方程可得（1）考虑到基本解在r=0处应具有奇异性，取A=0。为进一步确定B值，对式（1）两边进行体积分得利用格林公式，有所以最后得三维拉普拉斯方程的基本解取边界S为球面，其半径为r，则有求二维拉普拉斯方程的基本解解由定义1可知，即求U使其满足方程以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化为其中求解常微分方程得（2）考虑到基本解在r=0处应具有奇异性，取A=0。为进一步确定B值，对式（2）两边进行面积分得利用格林公式，有所以于是得二维拉普拉斯方程的基本解取边界C为圆周，其

4、半径为r，则有求二维亥姆霍斯方程的基本解解由定义1可知，即求U使其满足方程以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化为其中求解零阶贝塞尔方程得（3）考虑到在r=0处，J0(kr)有界，取A=0，而Y0(kr)具有(2/π)lnr的奇异性。为进一步确定B值，对式（3）两边进行面积分得利用格林公式，有取边界C为圆周，其半径为r，则有于是得二维亥姆霍斯方程的基本解证明三维亥姆霍斯方程的基本解采用格林函数法，试证明三维亥姆霍斯方程的基本解为练习利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解解以固定点M0为原点，建立球坐标

5、，并假设U与θ,φ无关。若U满足（a）则必满足设未知函数表达式为其中A为待定系数。将表达式代入方程（a），可得于是，最后得到双调和方程的基本解6.3格林函数二维格林函数的定义定义2满足的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中B为平面区域D的边界。定理1格林函数具有对称性，即G(M1;M2)=G(M2;M1)这里点M1的坐标是(x1,y1)，点M2的坐标是(x2,y2)。同理可定义三维拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数。满足的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中S为区域Ω的边界。三维格林函数的定义类似可定义三维拉

6、普拉斯方程第三边值问题的格林函数。满足的函数称为拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数，其中S为区域Ω的边界。但是不可定义拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。若定义满足的函数称为拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。证明进行体积分并利用格林公式，可得易知齐次边界条件无法满足，上述定义不能成立，证毕。格林函数的求法将格林函数看作是基本解与齐次解之和，即相应的方程为及基本解在前面已经求出，有边界区域齐次方程解的求法在下一节介绍。假设格林函数已经求出，下面研究三维拉普拉斯算子第一边值问题解的积分表示。若u满足如下定解问题则解u的积分公式为其中M

7、(x,y,z)为积分变量。三维问题解的积分公式证明类似地可以证明二维拉普拉斯方程第一边值问题解的为积分公式为二维问题解的积分公式其中M(x,y,)为积分变量。6.4位势方程第一边值问题6.4.1半空间的格林函数半空间的格林函数满足其中点M0(x0,y0,z0)的坐标分量z0>0。采用静电源镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面z=0上感应的负电荷在点M(x,y,z)处产生的总电位。zyxM0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)M如右图所示，M1是M0关于z=0平面的对称点，在点M1放置单位负电荷，则在点M0

8、的正电荷与点M1的负电荷在z=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M(x,y,z)的总电位就是格林函数O此式右端第一项是基本解，第二项在上半空间内满足拉普拉斯方程。下面利用半空间格林函数给出定解问题解的积分表达式。应用举例首先计算边界上